Ejercicio 1
Dos personas "a" y "b"caminan por calles rectas,
que se crusan en un angulo recto, el caminante "a"
se hacerca a la intersecciòn a 2m/sg y el "b" se aleja a 1m/sg .
¿cual es la razon de cambio del angulo "x" cuando "a" este a 10m
de la intersecciòn y "b" a 20m?.
D
a
t
o
s
:
{\displaystyle \ Datos:}
s
a
=
10
m
{\displaystyle \ sa=10m}
s
b
=
20
m
{\displaystyle \ sb=20m}
d
a
d
t
=
−
2
m
/
s
g
{\displaystyle {\frac {da}{dt}}=-2m/sg}
d
b
d
t
=
1
m
/
s
g
{\displaystyle {\frac {db}{dt}}=1m/sg}
d
x
d
t
=
?
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=?}
S
o
l
u
c
i
o
n
:
{\displaystyle \ Solucion:}
t
a
n
g
(
x
)
=
s
a
s
b
{\displaystyle \ tang(x)={\frac {sa}{sb}}}
t
a
n
g
(
x
)
=
(
s
a
)
(
s
b
)
−
1
{\displaystyle \ tang(x)=(sa)(sb)^{-}1}
s
e
c
2
(
x
)
∗
d
x
d
t
=
(
s
a
)
(
−
s
b
)
−
2
∗
d
b
d
t
+
(
s
b
)
−
1
∗
d
x
d
t
{\displaystyle \ sec^{2}(x)*{\frac {dx}{dt}}=(sa)(-sb)^{-}2*{\frac {db}{dt}}+(sb)^{-}1*{\frac {dx}{dt}}}
s
e
c
2
(
x
)
∗
d
x
d
t
=
s
a
(
−
s
b
)
2
∗
d
b
d
t
+
1
s
b
∗
d
x
d
t
{\displaystyle \ sec^{2}(x)*{\frac {dx}{dt}}={\frac {sa}{(-sb)^{2}}}*{\frac {db}{dt}}+{\frac {1}{sb}}*{\frac {dx}{dt}}}
d
x
d
t
=
s
a
(
−
s
b
)
2
∗
d
b
d
t
+
1
s
b
∗
d
x
d
t
s
e
c
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {sa}{(-sb)^{2}}}*{\frac {db}{dt}}+{\frac {1}{sb}}*{\frac {dx}{dt}}}{sec^{2}(x)}}}
d
x
d
t
=
10
(
−
20
)
2
∗
1
+
1
20
∗
(
−
2
)
s
e
c
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {10}{(-20)^{2}}}*1+{\frac {1}{20}}*(-2)}{sec^{2}(x)}}}
d
x
d
t
=
10
−
400
+
−
1
10
s
e
c
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {10}{-400}}+{\frac {-1}{10}}}{sec^{2}(x)}}}
d
x
d
t
=
1
−
40
+
−
1
10
s
e
c
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {1}{-40}}+{\frac {-1}{10}}}{sec^{2}(x)}}}
d
x
d
t
=
40
+
10
−
400
s
e
c
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {40+10}{-400}}{sec^{2}(x)}}}
d
x
d
t
=
50
−
400
s
e
c
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {50}{-400}}{sec^{2}(x)}}}
d
x
d
t
=
5
−
40
s
e
c
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {5}{-40}}{sec^{2}(x)}}}
d
x
d
t
=
5
−
40
5
4
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {5}{-40}}{\frac {5}{4}}}}
d
x
d
t
=
20
−
200
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {20}{-200}}}
d
x
d
t
=
2
−
20
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {2}{-20}}}
d
x
d
t
=
1
−
10
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {1}{-10}}}
d
x
d
t
=
−
0.1
r
a
d
/
s
g
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-0.1rad/sg}
Ejercicio 2
Un recipiente tiene forma de cono circular con altura "h" igual a 10m
y un radio "r" igual a 4m, se introduce agua en el recipiente a una
velocidad constante de 5m/min , ¿con que velocidad se eleva el nivel
del agua cuando la profundidad es de 5m y el vertice del cono esta
hacia arriba?.
D
a
t
o
s
:
{\displaystyle \ Datos:}
h
=
10
m
{\displaystyle \ h=10m}
r
=
4
m
{\displaystyle \ r=4m}
d
v
d
t
=
5
m
3
/
m
i
n
{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=5m^{3}/min}
d
h
d
t
=
?
{\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=?}
S
o
l
u
c
i
o
n
:
{\displaystyle \ Solucion:}
primero se deja todo en funciòn de una sola variable.
r
4
=
h
10
{\displaystyle {\frac {r}{4}}={\frac {h}{10}}}
r
=
4
h
10
{\displaystyle \ r={\frac {4h}{10}}}
r
=
2
h
5
{\displaystyle \ r={\frac {2h}{5}}}
luego se deriva y se remplaza en la ecuaciòn del volumen
v
=
4
∗
p
h
i
∗
r
3
∗
d
r
d
t
3
{\displaystyle \ v={\frac {4*phi*r^{3}*{\frac {dr}{dt}}}{3}}}
5
m
3
/
m
i
n
=
4
∗
p
h
i
∗
2
h
2
5
2
∗
d
h
d
t
{\displaystyle \ 5m^{3}/min=4*phi*{\frac {2h^{2}}{5^{2}}}*{\frac {dh}{dt}}}
5
m
3
/
m
i
n
=
4
∗
p
h
i
∗
2
h
2
25
∗
d
h
d
t
{\displaystyle \ 5m^{3}/min=4*phi*{\frac {2h^{2}}{25}}*{\frac {dh}{dt}}}
d
r
d
t
=
5
m
3
/
m
i
n
∗
25
4
∗
p
h
i
∗
2
h
2
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {5m^{3}/min*25}{4*phi*{2h^{2}}}}}
d
r
d
t
=
75
m
3
/
m
i
n
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=75m^{3}/min}
Ejercicio 3
un globo se eleva verticalmente desde un punto
situado a 150 pies de de un observador, el globo sube
a razon de 8pies/sg, ¿cual sera la rapidez de separaciòn
del globo con respecto al observador,
cuando la altura sea de 50 pies?.
D
a
t
o
s
:
{\displaystyle \ Datos:}
d
=
150
m
{\displaystyle \ d=150m}
h
=
50
m
{\displaystyle \ h=50m}
s
=
?
{\displaystyle \ s=?}
d
h
d
t
=
8
p
i
e
s
/
s
g
{\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=8pies/sg}
d
s
d
t
=
?
{\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=?}
S
o
l
u
c
i
o
n
:
{\displaystyle \ Solucion:}
primero se despeja el valor de la que forman la altura
y la distancia con el observador.
s
2
=
h
2
+
150
2
{\displaystyle \ s^{2}=h^{2}+150^{2}}
s
=
(
50
2
+
150
2
)
1
2
{\displaystyle \ s=(50^{2}+150^{2})^{\frac {1}{2}}}
s
=
(
2500
+
67500
)
1
2
{\displaystyle \ s=(2500+67500)^{\frac {1}{2}}}
s
=
70000
1
2
{\displaystyle \ s=70000^{\frac {1}{2}}}
s
=
264.57
p
i
e
s
{\displaystyle \ s=264.57pies}
luego se derivan las variables y se remplazan los valores.
s
2
=
h
2
+
150
2
{\displaystyle \ s^{2}=h^{2}+150^{2}}
2
s
∗
d
s
d
t
=
2
h
∗
d
h
d
t
{\displaystyle \ 2s*{\frac {ds}{dt}}=2h*{\frac {dh}{dt}}}
d
s
d
t
=
2
h
2
s
∗
d
h
d
t
{\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {2h}{2s}}*{\frac {dh}{dt}}}
d
s
d
t
=
h
s
∗
d
h
d
t
{\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {h}{s}}*{\frac {dh}{dt}}}
d
s
d
t
=
50
264.57
∗
8
p
i
e
s
/
s
g
{\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {50}{264.57}}*8pies/sg}
d
s
d
t
=
0.188
∗
8
p
i
e
s
/
s
g
{\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=0.188*8pies/sg}
d
s
d
t
=
1.51
p
i
e
s
/
s
g
{\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=1.51pies/sg}
Ejercicio 4
las aristas de un cubo variable aumentan a razon de 3pulg/sg,
¿cual sera la rapidez de variaciòn del volumen del cubo,
cuando la arista tiene 10 pulgadas de largo?.
D
a
t
o
s
:
{\displaystyle \ Datos:}
l
=
10
p
u
l
g
{\displaystyle \ l=10pulg}
d
l
d
t
=
3
p
u
l
g
/
s
g
{\displaystyle {\frac {dl}{dt}}=3pulg/sg}
d
v
d
t
=
?
{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=?}
S
o
l
u
c
i
o
n
:
{\displaystyle \ Solucion:}
v
=
l
3
{\displaystyle \ v=l^{3}}
v
=
3
l
2
∗
d
l
d
t
{\displaystyle \ v=3l^{2}*{\frac {dl}{dt}}}
v
=
3
(
10
p
u
l
g
)
2
∗
3
p
u
l
g
/
s
g
{\displaystyle \ v=3(10pulg)^{2}*3pulg/sg}
v
=
3
(
100
p
u
l
g
2
)
∗
3
p
u
l
g
/
s
g
{\displaystyle \ v=3(100pulg^{2})*3pulg/sg}
v
=
300
p
u
l
g
2
∗
3
p
u
l
g
/
s
g
{\displaystyle \ v=300pulg^{2}*3pulg/sg}
v
=
900
p
u
l
g
3
/
s
g
{\displaystyle \ v=900pulg^{3}/sg}
Ejercicio 5
Suponiendo que una burbuja de jabon mantenga
una forma esferica constante, ¿cual sera la rapidez de cambio
del radio de la burbuja, cuando el radio sea igual a 2 pulgadas,
sabiendo que se le inyecta aire a razon de 4 pulgadas cubicas por segundo?.
D
a
t
o
s
:
{\displaystyle \ Datos:}
r
=
2
p
u
l
g
{\displaystyle \ r=2pulg}
d
v
d
t
=
4
p
u
l
g
3
/
s
g
{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=4pulg^{3}/sg}
d
r
d
t
=
?
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=?}
S
o
l
u
c
i
o
n
:
{\displaystyle \ Solucion:}
v
=
4
∗
p
h
i
∗
r
3
3
{\displaystyle \ v={\frac {4*phi*r^{3}}{3}}}
d
v
d
t
=
4
∗
p
h
i
3
∗
3
r
2
∗
d
r
d
t
{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {4*phi}{3}}*3r^{2}*{\frac {dr}{dt}}}
d
v
d
t
=
4
∗
p
h
i
∗
r
2
∗
d
r
d
t
{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=4*phi*r^{2}*{\frac {dr}{dt}}}
d
r
d
t
=
d
v
d
t
4
∗
p
h
i
∗
r
2
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {\frac {dv}{dt}}{4*phi*r^{2}}}}
d
r
d
t
=
4
p
u
l
g
3
/
s
g
4
∗
p
h
i
∗
(
2
p
u
l
g
)
2
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {4pulg^{3}/sg}{4*phi*(2pulg)^{2}}}}
d
r
d
t
=
4
p
u
l
g
3
/
s
g
4
∗
p
h
i
∗
(
4
p
u
l
g
2
)
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {4pulg^{3}/sg}{4*phi*(4pulg^{2})}}}
d
r
d
t
=
1
p
u
l
g
3
/
s
g
p
h
i
∗
(
4
p
u
l
g
2
)
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {1pulg^{3}/sg}{phi*(4pulg^{2})}}}
d
r
d
t
=
0.079
p
u
l
g
/
s
g
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=0.079pulg/sg}
