Monica

1)Hallar f´´(x) si f(x)= ${\frac {x^{2}}{x^{2}-9}}$

f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}-9}}

f'(x)={\frac {2x(x^{2}-9)-x^{2}(2x)}{(x^{2}-9)^{2}}}

f'(x)={\frac {2x^{3}-18x-2x^{3}}{(x^{2}-9)^{2}}}

f'(x)={\frac {-18x}{(x^{2}-9)^{2}}}

f''(x)={\frac {-18(x^{2}-9)^{2}+18x(4x)(x^{2}-9)}{(x^{2}-9)^{4}}}

f''(x)={\frac {(x^{2}-9)[-18(x^{2}-9)+72x^{2}]}{(x^{2}-9)^{4}}}

f''(x)={\frac {54x^{2}+162}{(x^{2}-9)^{3}}}

Monica

2)Derive: $\ x^{3}+2x^{2}+1$

\lim _{h\to 0}{\frac {((x+h)^{3}+2(x+h)^{2}+1)-(x^{3}+2x^{2}+1)}{h}}

\lim _{h\to 0}{\frac {x^{3}+hx^{2}+2hx^{2}+2h^{2}x+h^{2}x+h^{3}+2x^{2}+4hx+2h^{2}+1-x^{3}-2x^{2}-1}{h}}

\lim _{h\to 0}{\frac {3hx^{2}+3h^{2}x+h^{3}+4hx+2h^{2}}{h}}

\lim _{h\to 0}{\frac {(h)(3x^{2}+3hx+h^{2}+4x+2h)}{h}}

\lim _{h\to 0}\ 3x^{2}+3hx+h^{2}+4x+2h

\ 3x^{2}+3(0)x+(0)^{2}+4x+2(0)

. $\ 3x^{2}+4x$ by: monica perez Monica

3)Hallar: ${\frac {dy}{dx}}$ si $y^{3}-xy^{2}+cosxy=2$

3y^{2}({\frac {dy}{dx}})-y^{2}+x2y({\frac {dy}{dx}})-sen(xy)(y+x({\frac {dy}{dx}})=0

3y^{2}({\frac {dy}{dx}})-2xy({\frac {dy}{dx}})-x({\frac {dy}{dx}})sen(xy)=y^{2}+ysenxy

({\frac {dy}{dx}})(3y^{2}-2xy-xsen(xy))=y^{2}+ysenxy

({\frac {dy}{dx}})={\frac {y^{2}+ysen(xy)}{3y^{2}-2xy-xsen(xy)}}

Monica

4)Derivar: ${\frac {6}{x}}$

\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {6}{(x+h)}}-{\frac {6}{x}}}{h}}

lim_{h\to 0}{\frac {\frac {-6h}{(x+h)(x)}}{h}}

lim_{h\to 0}{\frac {-6h}{(x+h)(x)(h)}}

lim_{h\to 0}{\frac {-6}{(x)(x+h)}}

{\frac {-6}{x^{2}}}

Monica

5)Derivar: $\ f(x)=(x^{2})senx$

\ f'(x)=(x^{2})senx+x^{2}cosx

\ f'(x)=(2x)senx+x^{2}cosx

\ f'(x)=(x)(2senx+xcosx)

Monica

6)Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva $x^{\frac {2}{3}}-y^{\frac {2}{3}}-2y=2$ en el punto (1,-1)

{\frac {2}{3}}x^{\frac {-1}{3}}-{\frac {2}{3}}y^{\frac {-1}{3}}({\frac {dy}{dx}})-2{\frac {(}{dy}}{dx})=0

{\frac {dy}{dx}}(-{\frac {2}{3}}y^{\frac {-1}{3}}-2)=-{\frac {2}{3}}x^{\frac {-1}{3}}

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-{\frac {2}{3}}x^{\frac {-1}{3}}}{(-{\frac {2}{3}}y^{\frac {-1}{3}}-2)}}

{\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}{{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{y}}}}+2}}

Mt={\frac {dy}{dx}}(1,-1)={\frac {\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{1}}}}{({\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{-}}1}}+2}}

={\frac {\frac {2}{3}}{{\frac {2}{3}}+2}}

$={\frac {\frac {2}{3}}{\frac {4}{3}}}$

={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}=Mt

Ya teniendo la pendiente reemplazamos:

(y+1)={\frac {1}{2}}{x-1}

y={\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2}}-1

y={\frac {1}{2}}x-{\frac {3}{2}}

RAZON DE CAMBIO

1)El radio de un circulo cambia a razón de ${\frac {-2}{pi}}m/sg$ . ¿Cual es la razón de cambio del area del circulo cuando $r=10m$

{\frac {dr}{dt}}={\frac {-2}{pi}}m/sg

y

r=10m

A=pir^{2}

{\frac {dA}{dt}}=2pir{\frac {dr}{dt}}

{\frac {dA}{dt}}=2pi(10){\frac {-2}{pi}}

{\frac {dA}{dt}}=-40m^{2}/sg

Monica

2)El area de la superficie de un cilindro circular recto se relaciona con el radio de la base r y la altura h mediante la ecuacion $s=2pir^{2}+2pirh$

a)¿Como se relaciona

{\frac {ds}{dt}},{\frac {dr}{dt}}

si h es constate?

b)¿Como se relaciona

{\frac {ds}{dt}}y{\frac {dh}{dt}}

si r es constate?

c)¿Como se relaciona

{\frac {ds}{dt}},{\frac {dh}{dt}};{\frac {dr}{dt}}

si ni r, ni t,ni h son constates?

a) ${\frac {ds}{dt}}=4pir{\frac {dr}{dt}}+2pih{\frac {dr}{dt}}$

{\frac {ds}{dt}}=(4pir+2pih){\frac {dr}{dt}}

b) ${\frac {ds}{dt}}=0+2pih{\frac {dh}{dt}}$

{\frac {ds}{dt}}=2pih{\frac {dh}{dt}}

c) ${\frac {ds}{dt}}=4pir{\frac {dr}{dt}}+2pih{\frac {dr}{dt}}+2pir{\frac {dh}{dt}}$

{\frac {ds}{dt}}=2pi{\frac {dr}{dt}}(2r+h)+2pir{\frac {dh}{dt}}

3)Un balón esférico se infla a razón de 100 pies cúbicos por minuto. ¿Cuál es la razón de crecimiento del radio en el instante en que el radio mide 10pies?

V={\frac {dv}{dt}}=100pies/mn

{\frac {dr}{dt}}=?

V={\frac {4pir^{3}}{3}}

V={\frac {4pi3r^{2}}{3}}({\frac {dr}{dt}})

{\frac {V}{\frac {4pi3r^{2}}{3}}}=({\frac {dr}{dt}})

{\frac {100}{\frac {4pi3(10)^{2}}{3}}}=({\frac {dr}{dt}})

{\frac {100}{\frac {3769.9}{3}}}=({\frac {dr}{dt}})

{\frac {3769.9}{300}}=({\frac {dr}{dt}})

12.5=({\frac {dr}{dt}})

4)Dos automóviles parten de un mismo punto en igual momento. Uno se dirige hacia el norte a una velocidad constante de 25Km/h, y el otro se dirige al oriente a una velocidad constante de 60Km/h. ¿Qué tan rápido aumenta la distancia entre ellos después de 1 hora?

z^{2}=x^{2}+y^{2}

2z{\frac {dz}{dt}}=2x{\frac {dx}{dt}}+2y{\frac {dy}{dt}}

{\frac {dz}{dt}}={\frac {dx}{dt}}+{\frac {dy}{dt}}

{\frac {dz}{14}}={\frac {d60}{140}}+{\frac {d25}{14}}

dz=85Km/h

5)Dos lados de un triangulo tiene longitudes de 12m y 15m respectivamente. El ángulo formado por ellos aumenta a razón de 2º/mn. ¿Con qué velocidad aumenta la longitud del tercer lado cuando el ángulo formado por los lados de longitud fija es 60º?

z^{2}=x^{2}+y^{2}-2xycostheta

z^{2}=144+225-2(12)(15)costheta

z^{2}=369-360costheta

z^{2}=369-360cos(60)

z^{2}=369-180

z={\sqrt[{2}]{1}}89

z=13.74

2z{\frac {dz}{dt}}=-360(-sentheta){\frac {dtheta}{dt}}

{\frac {dz}{dt}}={\frac {180sentheta{\frac {dtheta}{dt}}}{z}}

{\frac {dz}{dt}}={\frac {180sen(60)(2)}{13.74}}

{\frac {dz}{dt}}=22.7m/mn

MAXIMOS Y MINIMOS=

¿Cuál es la máxima área que puede tener un triangulo rectángulo cuya hipotenusa tenga 5cms de largo?

A={\frac {base*altura}{2}}

z^{2}=x^{2}+y^{2}

z=5

25=x^{2}+y^{2}

{\sqrt[{2}]{25-x^{2}}}=y

A={\frac {x{\sqrt[{2}]{25-x^{2}}}}{2}}

A'={\frac {1}{2}}{\sqrt[{2}]{25-x^{2}}}+({\frac {x}{2}}){\frac {-2x}{2{\sqrt[{2}]{2}}5-x^{2}}}

A'={\frac {25-x^{2}-x^{2}}{2{\sqrt[{2}]{25-x^{2}}}}}=0

25-2x^{2}=0

x={\sqrt[{2}]{\frac {25}{2}}}

{\sqrt[{2}]{25-{\frac {25}{2}}}}=y

{\sqrt[{2}]{\frac {25}{2}}}=y

A={\frac {{\sqrt[{2}]{\frac {25}{2}}}*{\sqrt[{2}]{\frac {25}{2}}}}{2}}

A={\frac {25}{4}}cm^{2}

2) Hay una ventana que tiene la forma de semicírculo montado sobre un rectángulo. El rectángulo es de cristal transparente, mientras que el semicírculo es de un cristal de color que transmite la mitad de luz por unidad de área que el transparente. El perímetro total es fijo. Hallar las proporciones de la ventana que proporcionen la mayor cantidad de luz. No considere el grosor del marco.

Perimetro=x+2y+{\frac {2pir}{2}}

P=x+2y+pi{\frac {x}{2}}

y={\frac {P}{2}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {pix}{4}}

A= área del rectángulo + área del semicírculo

A=x*y+{\frac {pir^{2}}{4}}

A=x({\frac {P}{2}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {pix}{4}})+{\frac {pix^{2}}{16}}

A={\frac {Px}{2}}-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {pix^{2}}{4}})+{\frac {pix^{2}}{16}}

A={\frac {P}{2}}x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {3pix^{2}}{16}}

A'={\frac {P}{2}}-x-{\frac {6pix}{16}}=0

{\frac {P}{2}}=x+{\frac {6pix}{16}}

{\frac {P}{2}}=x(1+{\frac {3pi}{8}})

{\frac {P}{2}}=x({\frac {8+3pi}{8}})

{\frac {8p}{2(8+3pi)}}=x

{\frac {4p}{8+3pi}}=x

Reemplazando en y

y={\frac {P}{2}}-{\frac {4P}{2(8+3pi)}}-{\frac {pi4P}{4(8+3pi)}}

y={\frac {P}{2}}-{\frac {2P}{8+3pi}}-{\frac {piP}{8+3pi}}

y={\frac {P(8+3pi)-4P-2piP}{2(8+3pi)}}

y={\frac {8P+3Ppi-4P-2piP}{2(8+3pi)}}

y={\frac {4P+piP}{2(8+3pi)}}

y={\frac {P(4+pi)}{2(8+3pi)}}

y={\frac {P(4+pi)}{16+6pi}}

3) Una hoja rectangular con perímetro de 36cm y con dimensiones de xcm por ycm se hace girar sobre uno de los lados de largo y para formar un cilindro. ¿Qué valores para y y x darán el volumen máximo?