Jenny buitrago

Introduccion

Todos los ejercicios aqui expuestos en esta pagina hacen parte del libro Purcell

Problemas de razón de cambio

1. Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al mediodía y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, a 400 millas por hora, pasa por por la torre una hora después. ¿Que tan rápido está cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2:00 pm?

Primero se identifican las variables que vamos a utilizar durante la resolución del problema:

x(t): es la distancia recorrida por el avión numero 1 a la 1 pm (para este caso avión uno lo nombraremos como A1) y(t): es la distancia recorrida por el avión numero 2 a a 1 pm ( igual que en el anterior lo nombraremos como A2) x'(t): es la derivada de la distancia de A1 por lo tanto es la velocidad de A1 que es 300 m/h y'(t): la velocidad de A2 que es de 400 m/h lo que tenemos que buscar es s'(t) que es el cambio de distancia entre los dos aviones.

Despues pasaremos a graficar la situacion para que nos sirva como apoyo sabemos en que direcciones se dirigen los aviones por lo tanto nos da un triangulo rectangulo de donde los catetos seran "x" y "y" y la hipotenusa sera "s" y el origen sera la torre de control.

sabemos que como el A1 lleva una velocidad de 300m/h significa que cada hora el avion recorrerá 300 millas, por lo tanto cuando el A2 pasa por la torre de control a la 1 el A1 llevara recorrido 300 millas.

La ecuación principal nos quedaría asi:

$(300+x)^{2}+y^{2}=s^{2}$ para este caso reeplazamos por "x" 30 y a "y" 400 $(300+(300))^{2}+(400)^{2}=s^{2}$ y como queremos conocer el valor de s sacamos la raíz cuadrada y nos da como resultado que s=721.11 Como ya conocemos el valor de s, sacamos la derivada de la ecuación principal:

$(300+x)^{2}+y^{2}=s^{2}$ $2(300+x)\cdot x'+2y\cdot y'=2s\cdot s'$

y como queremos conocer s' entonces la despejamos en la ecuacion

${\frac {(300+x)\cdot x'+y\cdot y'}{s}}=s'$ reemplazamos por los valores que obtuvimos anteriormente ${\frac {(300+300)\cdot 300+400\cdot 400}{721.11}}=s'$ $471.45m/h=s'$ esta es la respuesta al problema.

2. Cada arista de un cubo variable esta aumentando a razon de 3 pulgadas por segundo que tan rapido esta aumentando el nivel del cubo cuando una arista es de 12 pulgadas de longitud?

x(t): la longitud de una arista v(t): el volumen del cubo x'(t): 3 pulg/seg v'(t): es la incognita a encontrar

El volumen de un cubo es $v(t)=x^{3}$ sacamos la derivada $v'(t)=3\cdot x^{2}\cdot x'$ reemplazamos $v'(t)=3\cdot (12pulg)^{2}\cdot (3pulg/seg$ donde $v'(t)=1296pulg^{3}*seg$

Limites algebraicos

3. $\lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{\sqrt[{2}]{x+1}}}$

Respuesta:

$\lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{\sqrt[{2}]{x+1}}}\cdot {\frac {\sqrt[{2}]{x-1}}{\sqrt[{2}]{x-1}}}$

$\lim _{x\to 1}{\frac {x-1{\sqrt[{2}]{x+1}}}{x-1}}$

$\lim _{x\to 1}{\sqrt[{2}]{x+1}}$

$\lim _{x\to 1}{\sqrt[{2}]{1+1}}$

$\lim _{x\to 1}{2}$

4. $\lim _{w\to -2}{\frac {(w+2)(w^{2}-w-6)}{w^{2}+4w+4}}$

$\lim _{w\to -2}{\frac {(w+2)(w-3)(w+2)}{(w+2)(w+2)}}$

$\lim _{w\to -2}{w-3}$

${-5}$

5. $\lim _{x\to -3}{\frac {x^{2}-14x-51}{x^{2}-4x-21}}$

$\lim _{x\to -3}{\frac {(x-17)(x+3)}{(x-7)(x+3)}}$

$\lim _{x\to -3}{\frac {x-17}{x-7}}$

$\lim _{x\to -3}{\frac {-20}{-10}}$

${2}$

6. $\lim _{x\to -1}{\frac {x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x^{3}+4x^{2}-19x+14}}$

$\lim _{x\to -1}{\frac {(x-2)(x^{2}-4x+3)}{(x-1)(x^{2}+5x-14}}$

$\lim _{x\to -1}{\frac {(x-2)(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x+7)}}$

$\lim _{x\to -1}{\frac {x-3}{x+7}}$

${\frac {-4}{5}}$

7. $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}+x-2}{x^{2}-1}}$

$\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+2)}{(x+1)(x-1)}}$

$\lim _{x\to 1}{\frac {x+2}{x+1}}$

${\frac {3}{2}}$

8. $\lim _{x\to -2}{\frac {x^{2}+7x+10}{x+2}}$

$\lim _{x\to -2}{\frac {(x+2)(x+5)}{x+2}}$

$\lim _{x\to -2}{x+5}$

$\lim _{x\to -2}{3}$

9. $\lim _{x\to 1}{2x+1}$

$\lim _{x\to 1}{2x}+\lim _{x\to 1}{1}$

${2+1}$

${3}$

10. $\lim _{x\to 0}{(2x+1)(x-3)}$

$\lim _{x\to 0}{2x+1}\cdot \lim _{x\to 0}{x-3}$

${1}\cdot {-3}$

${-3}$

11. $\lim _{x\to 1}{\frac {(3x-1)^{2}}{(x+1)^{3}}}$

$\lim _{x\to 1}{\frac {(3(1)-1)^{2}}{((1)+1)^{3}}}$

${\frac {4}{8}}$

${2}$

12. $\lim _{x\to 2}{\frac {x-2}{\sqrt[{2}]{x^{2}-4}}}:<math>\lim _{x\to 1}{\frac {x-2}{\sqrt[{2}]{x-2}}}{x+2}$

$\lim _{x\to 1}{\frac {\sqrt[{2}]{x-2}}{\sqrt[{2}]{x+2}}}$

${0}$

13. $\lim _{x\to a}{\frac {x-a}{x^{2}-a^{2}}}$

$\lim _{x\to a}{\frac {x-a}{(x+a)(x-a)}}$

$\lim {x\to a}{\frac {1}{x+a}}$

${1}{2a}$

14. $\lim _{x\to 2}{\frac {({\sqrt[{2}]{2x-1)-3}}}{({\sqrt[{2}]{x-2}})-({\sqrt[{2}]{2}})}}$

$\lim _{x\to 2}{\frac {({\sqrt[{2}]{2x-1)-3}}}{({\sqrt[{2}]{x-2}})-({\sqrt[{2}]{2}})}}\cdot {\frac {({\sqrt[{2}]{x-2}})+({\sqrt[{2}]{2}})}{({\sqrt[{2}]{x-2}}+({\sqrt[{2}]{2}})}}$

${-0.4}$

15. $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{3}+1}{x^{2}+1}}$

${\frac {(1)^{3}+1}{(1)^{2}+1}}$

${\frac {2}{2}}$

${1}$

16. $\lim _{x\to 2}{\frac {x^{4}-16}{x^{3}-8}}$

$\lim _{x\to 2}{\frac {(x-2)(x^{3}+2x^{2}+4x+8)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}}$

${\frac {(2)^{3}+2(2)^{2}+4(2)+8}{(2)^{2}+2(2)+4)}}$

${\frac {32}{12}}$

${\frac {8}{3}}$

17. $\lim _{x\to infinito}{\frac {x^{7}-x^{2}+1}{2x^{7}+x^{3}+300}}$

$\lim _{x\to infinito}{\frac {({\frac {x^{7}}{x^{7}}})-({\frac {x^{2}}{x^{7}}})+({\frac {1}{x^{7}}})}{({\frac {2x^{7}}{x^{7}}})+({\frac {x^{3}}{x^{7}}})+({\frac {300}{x^{7}}})}}$

${\frac {1}{2}}$

18. $\lim _{x\to 81}{\frac {x-81}{{\sqrt[{2}]{x}}-9}}$

$\lim _{x\to 81}{\frac {({\sqrt[{2}]{x}}-9)({\sqrt[{2}]{x}}+9)}{{\sqrt[{2}]{x}}-9}}$

$\lim _{x\to 81}{{\sqrt[{2}]{x}}+9}$

${{\sqrt[{2}]{81}}+9}$

${18}$

Límites trigonometricos

19. $\lim _{x\to 0}{\frac {tan(2x)}{3x}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {sen(2x)}{{cos(2x)}{3x}}}$

${\frac {1}{3}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {sen(2x)}{x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{cos(2x)}}$

${\frac {2}{3}}\cdot \lim _{2x\to 0}{\frac {sen(2x)}{2x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{cos(2x)}}$

${\frac {2}{3}}\cdot {1}$

${\frac {2}{3}}$

20. $\lim _{x\to 0}{\frac {1-Cos(x)}{x}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-Cos(x)}{x}}\cdot {\frac {1+Cos(x)}{1+cos(x)}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-Cos^{2}(x)}{{x}{(1-cos(x))}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {sen^{2}(x)}{{x}{(1-cos(x))}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {sen(x)}{x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {sen(x)}{1+cos(x)}}$

${1}{0}$

${0}$

21. $\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}*cos(t)}{t+1}}$

$\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t+1}}\cdot \lim _{t\to 0}cos(t)$

${0}\cdot {1}$

${0}$

Derivadas

Encuentre la tercera derivada

22. $y=x^{3}+3x^{2}+6x$

$y'=3x^{2}+6x+6$

$y''=6x+6$

$y'''=6$

23. $y=(3x+5)^{3}$

$y'=3(3x+5)(3)$

$y''=27$

$y'''=0$

24. $y=sen(7x)$

$y'=cos(7x)(7)$

$y''=-sen(7x)(7)$

$y'''=-cos(7x)(7)$

25. $y=x^{5}+x^{4}$

$y'=5x^{4}+4x^{3}$

$y''=20x^{3}+12x^{2}$

$y'''=60x^{2}+24x$

26. $y=(3-5x)^{5}$

$y'=5(3-5x)^{4}(5)$

$y''=100(3-5x)^{3}(5)$

$y'''=1500(3-5x)^{2}$

27. math>\ f(x)= 2x+ 1</math>

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {(2x+2h+1)-(2x+1)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {2h}{h}}$

$\ f'(x)={2}$

28. $\ f(x)=x^{2}-x$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {((x+h)^{2}-(x+h))-(x^{2}-x)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {((x^{2}+xh+h^{2}-x-h)-x^{2}+x}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {2xh+h^{2}-h}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {h(2x+h-1)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {2x+h-1}{h}}$

$\ f'(x)={2x-1}$

29. $\ f(x)=(2x)^{2}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {((2x+2h)^{2})-4x^{2})}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {((4x^{2}+8xh+4h^{2}-4x^{2})}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {h(8x+4h)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={8x+4h}$

$\ f'(x)={8x}$

30. $\ f(x)={\frac {1}{x-1}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {{\frac {1}{x+h-1}}-{\frac {1}{x-1}}}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {\frac {x-1-x-h+1}{(x+h-1)(x-1)}}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {\frac {-h}{(x+h-1)(x-1)}}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {-1}{(x+h-1)(x-1)}}$

$\ f'(x)={\frac {-1}{(x-1)^{2}}}$

31. $\ f(x)={x^{2}+x+1}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {((x+h)^{2}+x+h+1)-(x^{2}+x+1)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {((x^{2}+2xh+h^{2}+x+h+1)-(x^{2}+x+1)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {2xh+h^{2}+h}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}={\frac {h(2x+h+1)}{h}}$

$\ f'(x)lim_{x\to 0}=2x+h+1$

$\ f'(x)=2x+1$

32. $\ y={x^{5}+4x^{4}-3x^{3}+24x^{2}-45x+28}$

$\ y'={5x^{4}+16x^{3}-9x^{2}+48x-45}$

33. $y=2^{x}$

$(lny)'=x\cdot ln2$

$1/y\cdot y'=ln2$

$y'=2^{x}\cdot ln2$

34. $y={\frac {cos(t^{2}-1)}{1-({\frac {t^{2}}{3}})}}$ $y'={\frac {-2tsen(t^{2}-1)(1-({\frac {t^{2}}{3}})-(cos(t^{2}-1)(-{\frac {2t}{3}})}{(1-({\frac {t^{2}}{3}}))^{2}}}$

35. $y=x^{2}x$ $lny=2x\cdot x$ ${\frac {1}{y}}\cdot y'=2\cdot lnx+2x\cdot ({\frac {1}{x}})$ $y'=y(2lnx+2)$ $y'=2x^{2}(lnx+1)$

Maximos, mínimos y puntos críticos

36. $f(x)=x^{3}-6x^{2}+4$

$f'(x)=3x^{2}-12x$

$f'(x)=0$

$3x^{2}-12x=0$

x=0 y x=4 esos son los puntos críticos f(0)=4 es un máximo f(4)=-28 es un mínimo

37. $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$

$f'(x)=3x^{2}-12x+9$

$f'(x)=0$

$3x^{2}-12x+9=0$

$(x-1)(x-3)=0$

x=1 y x=3 esos son los puntos críticos f(1)=4 es un máximo f(3)=0 es un punto indefinido

38. $f(x)=x^{3}-3x+2$

$f'(x)=3x^{2}-6x$

$f'(x)=0$

$3x^{2}-6x=0$

x=0 y x=2 esos son los puntos críticos f(0)=2 es un mínimo f(2)=4 es un máximo

39. $f(x)=x^{3}-2x^{2}+2$

$f'(x)=3x^{2}-4x$

$f'(x)=0$

$3x^{2}-6x=0$

$x(3x-6)=0$

x=0 y x=4/3 esos son los puntos críticos f(0)=2 es un máximo f(4/3)=0.8 es un mínimo

40. $f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-2$

$f'(x)=3x^{2}-4x+1$

$f'(x)=0$

$3x^{2}-4x+1=0$

$(x-1/3)(x-1)=0$

x=1/3 y x=1 esos son los puntos críticos f(1/3)=-1.85 es un máximo f(1)=-2 es un mínimo

41. $f(x)=x^{3}-3x$

$f'(x)=3x^{2}-3$

$f'(x)=0$

$3x^{2}-3+1=0$

x=0 y x=1 esos son los puntos críticos f(0)=0 es un punto indeterminado f(1)=-3 es un mínimo

42. $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x$

$f'(x)=6x^{2}-18x+12$

$f'(x)=0$

$6x^{2}-18x+12=0$

$(x-1)(x-2)=0$

x=2 y x=1 esos son los puntos críticos f(1)=5 es un máximo f(2)=-4 es un mínimo

43. $f(x)=x^{3}-12x^{2}+pi$

$f'(x)=3x^{2}-24x$

$f'(x)=0$

$3x^{2}-24x=0$

x=0 y x=8 esos son los puntos críticos f(0)=pi es un máximo f(8)=-285.85 es un mínimo

44. $f(x)=x^{3}-3x$

$f'(x)=3x^{2}-3$

$f'(x)=0$

$3x^{2}-3=0$

x=1 y x=0 son los puntos críticos f(1)=-2 es un mínimo f(0)=0 es un punto indeterminado

45. $f(x)=x^{4}-2x^{3}$

$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}$

$f'(x)=0$

$4x^{3}-6x^{2}=0$

x=0 y x=6/4 esos son los puntos críticos f(0)=0 es un punto indeterminado f(6/4)=-1.6 es un mínimo

46. $f(x)=(x-2)^{5}$

$f'(x)=5(x-2)(1)$

$f'(x)=0$

$5x-10=0$

x=2 es el punto crítico f(2)=-243 es un mínimo