Camilo Acosta
LIMITES
editEsta pagina fue creada en un segundo intento mio de pasar calculo diferencial estudiando ingenieria de sistemas en la universidad javeriana de colombia
el objetivo aunque absurdo era de colocar lo que se pudiera en ejercicios en un pagina asi este ayudaba a la nota final y tratar de pasar la nota, el profesor que un total mediocre para explicar no tenia ni idea de nada
espero les sea de alguna ayuda ya que para mi no fue por que igual perdi la materia por 2 vez::
Camilo Acosta
1) User:Camilo_Acosta 41 By Camilo_acosta
asimismo, F es continua por la derecha en -2 y es continua por la izquierda en 2. En efecto f es continua en el intervalo cerrado [-2,2]
by Camilo_Acosta
2) by Camilo_Acosta
By camilo_acosta
3) By camilo_Acosta
By Camilo_acosta
4) By camilo_acosta
5) by Camilo_Acosta
6) By Camilo_Acosta
by Camilo_Acosta
7) by Camilo_Acosta (nota: este límite da "límite cuando x tiende a 2 de raíz cuadrada de 7 entre 3"; se debe modificar el ejercicio para que de la indeterimnación... ¿No me creen?, pues prueben los valores de x=2 para que vean
by Camilo_Acosta
Maximos y Minimos
editEncuentre los valores máximos y mínimos hayando a cada funcion su número crítico
- \sqrt[2]
- Máximo
3):
by Camilo_Acosta
Problemas de razón de cambio
edit1) se suleta un globo en un punto a 150 pies de un observador, quien se encuentra al nivel del piso. si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8 pies por segundo,¿ qué tan rápido esta aumentando la distancia del observador al globo cuando el globo esta a 50 pies de altura?(supongase que el globo se suleta desde el nivel del piso)
solución sea t el número de segundos contados a partir de que se suelta el globo. sea h la altura del globo y s su distancia al observador. tanto h como s son variables que dependen de t; sin embargo, permanece sin cambio conforme t aumenta. obsevemos que al inicio, s casi no cambia (ds/dt=0), pero eventualmente s cambia casi tan rapido como cambia h (ds/dt=dh/dt=8). Una Estimaciónde ds/dt cuando h=50 podría ser alrededor de un tercio o e un medio de dh/dt, o 3. si obtenemos una respuest alejada de este valor, sabremos que hemos cometido un error. Por ejemplo, respuesta tales como 17 o aun 7, obviamente son incorrectas.
Para enfatizar, respondemos tres preguntas fundamentales
(a) ¿Qué esta dado?RESPUESTA dh/dt=8 (b) ¿Qué queremos conocer?RESPUESTA: queremos conocer ds/dt en el instante en que h=50 (c) ¿Como estan relacionadas s y h? las variables s y h cambian con el tiempo, pero siempre estan relacionadas por medio de la ecuación pitragórica --- Los puntos a y b estan en las orillas de un rio recto de 3 km de ancho y son opuestos uno del otro. El punto C esta en la misma orilla que b pero a "K" kilometros de "B" rio abaj. Una compaia telefonica desea tender un cable de "A" y "C" donde costo por kilometro de cable en tierra es de $10000 y el de cable subacuatico es de $ 12500.Sea p un punto en la misma orilla que B y C de modo que el cable se tienda de "A" a "P y luego a C.
a-) SI x kilometros es la distancia de B a P, obtenga una ecuacion que defina a C(x) si C(x) dolares es el costo total del cable tendido y establezca el dominio de c.
respuesta
La distancia de P a C es de (K-X9 kilometros y del teorema de pitagoras de a a p es kilometros. por lo tanto
El dominio de C es [0, k]
Un fabricante de cajas de carton quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares de carton con dimensiones de 10 pulg por 17 pulg, cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Se desea determinar la longitud del lado de los cuadrados que se deben cortar de modo que la caja tenga el mayor volumen posible.
y el dominio de v es el intervalo cerrado [0.5] Como v es continua en [0.5]se sabe que el valor v tiene un valor maximo absoluto el cual ocurre en un numero critico o en un extremo del intervalo. para obtener los numeros criticos se calcula v'(x) = 0 o no existe
V'(x) = 170-108x+12^2
V'(x) existe para todos los valores de x. Al igualar V'(x) a cero y despejar x se tiene
2(6x^2-54x+85)=0
De donde se obtiene x=6.27 y x=2.03.De modo que el unico valor critico de V en [0.5] es 2.03 como v(0)=0 y v(5)=0, mientras que V(2.03)=156.03, el valor absoluto de V ocurre cuando x=2.03
Conclusion El mayor volumen posible es 156.03 pulga^3 y se obtiene cuando la longitud sw loa lados de los cuadrados que se cortaran es de 2.03 pulg.
Una escalera de 25 pie de longitud esta apoyada contra la pared vertical. La base de la escalera se jala horizontalmente alejandola de la pared a 3 pie/s. Suponga que se desea determinar que tan rapido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a 15 pies de la pared.
I: El numero de segundos del tiempo que ha transcurrido desde que la escalera comenzo a deslizarse hacia abajo sobre la pared .
X: El numero de pies de la distancia desde la base de la escalera a la pared a los 't' segundos
Y:El numero de pies de la distancia desde el piso a la parte superior de la escalera a los t segundos
Como la base de la escalera es jalada horizontalmente alejandola de la pared a 3/pies
Escriba una ecuacion que relacione a 'X','Y' y del teorema de pitagoras
y^2=625-x^2
Se deriva con respecto a t
sustituya los valores conocidos de x,y y y
en la ecuacion anterior para
Cuando x=15 de (1) y= 20 . como se obtiene de (2)
el signo indica que decrece conforme t aumenta
La parte superior de la escalera se desliza hacia abajo sobre la pared a la tasa de 2.25 pies/s cuando la base esta a 15 pie de la pared
Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2m^3 hacia el interior de un deposito cuya forma es la de un cono invertido de 16 m de altura y 4 m de radio ¿que tab rapido sube el nivel del agua cuando esta ha alcanzado 5 m de profundidad?
t:El numero de minutos del tiempo que ha trascurrido desde que el agua comenzo a fluir dentro del tanque
h:El numero de metros de altura del nivel del agua a los t minutos
r:el numero de metros del radio de la superficie del agua a los t minutos
v:el numero de metros cubicos del volumen de agua en el tanque a los t minutos. observe que v , r y h son funciones de t
puesto que el agua fluye dentro del tanque a una tasa de 2 m^3/min
entonces
se desea determinar
en cualquier tiempo el volumen del agua en el tanque puede expresarse como el volumen de un cono
Se conoce y se desea determinar </math>\frac{dh}{dy} por lo tanto se nesesita una ecuacion que involucre a V y h. Asi primero se expresa r en terminos de h.
Al diferenciar los dos miembros de esta ecuacion con respecto a t
ahora se sustituye 2 por y se resuelve la ecuacion para
asi,
al convertir metros a centimetros se tiene=0.4074 m/min=40.74 cm/min.
El nivel del agua sube a una tasa de 40.74 cm/min cuando el agua ha alcanza una profundidad de 5 m.
Defina pi=π
Dos automoviles, uno va hacia el este a una tas a de 90 km/h, y el otro hacia el sur a 60 km/h, se dirigen hacia la interseccion de os carreteras. ¿a que tasa se estan aproximando uno al otro en el instante en que el primer automovil esta 0.2 km de la interseccion y el segundo se encuentra a 0.15 km de dicha interseccion?
t: el numero de horas del tiempo que ha trascurrido desde que los automoviles empezaron a aproximarse a p.
x:el numero de kilometros de la distancia a partir del primer automovil a p a las t horas
y:el numero de kilometros de la distancia a partir del segundo automovil a p a las t horas
z:el numero de kilometros de la distancia entre los dos automoviles a la t horas
Como el primer carro se acerca a p a una tasa de variacion de - km/h90 y x esta decreciendo conforme t crece, entonces de la misma manera
Se desea determinar cuando x=0.2 y y=0.15
Del teorema de pitagoras
al diferenciar los dos miembros de (4) con respecto a t, se obtiene
Cuando x=0.2 y y=0.15 de (4) se tiene que z=0.25 en (5) se sustituyen {dy}{dt}</math> por -60, x por 0.2 y por 0.15 y z por 0.25 para obtener
=-108
En el instante en cuestion, los carros se aproximan uno al otro a una tasa de 108 km\h
Suponga que en cierto mercado, x miles de canastillas se surten diariamente cuando p dolares es el precio por la canastilla. La ecuacion de oferta es
p(x)-20p-3x+105=0
Si el suministro diario decrece a una tasa de 250 canastillas por dia,¿a que tasa esta variando el precio cuando la oferta diaria la oferta diaria es de 5000 canastillas?
Sea t dias el tiempo que ha transcurrido desde que el simnistro diario empezo a decrecer
la variable p y x estan definidas como funciones de t en el enunciado del problema .
debido a que el suministro diario esta decreciendo a una tasa de cambio de 250 canastillas por dia,entonces , Se desea determinar Cuando x=5 De la ecuacion de oferta dada, al diferenciar implicitamente con respecto a t se obtiene
Cuando x=5, se deduce de la ecuacion de oferta que p=6
Debido a que Se tiene la ecuacion anterior
El precio de la canastilla de naranjas esta decreciendo a la tada de $0.05 por dia cuando la oferta diaria es de 5000 canastaillas.
Un avion vuela hacia el oeste con una velocidad de 500/pies a una altura de 4000 pie y un rayo de luz de un faro de rastreo ubicado en tierra, incide en la parte inferior del avion. Si la luz se mantiene sobre el avion ¿que tan rapido gira el rayo de luz cuando el avion se encuentra a una distancia horizontal de 2000 pies al este del faro.
t: segundos el tiempo que transcurre desde que la luz del faro incidio en el avion x:el numero de pies hacia el este de la distacia horizontal del avion des de el faro a los t segundos
Rad:el numero de radianes del angulo de elevacion del avion desde el faro a los t segundos
puesto que y como se desea determinar cuando x=2000,se considera
al diferenciar los dos miembros de esta ecuacion con respectp a t se obtiene
Si se sustituye en la ecuacion anterior y al dividir entre Se tiene
Problemas de maximos y minimos
editSea la funcion definida no tiene valor absoluto ni valor minimo absoluto en el intervalo (-1,1)
La funcion definida por F(x) puede hacerse menor que cualquier numero negativo tomando 3-x>o y menor que cualquier numero positivo tomando x-3>0 y menor que una
Suponga que f es la funcion definida por la grafica de f en el intervalo [1,4) esta funcion tiene un valor minimo absoluto de 2 en [1,4).No existe un valor maximo absoluto de f en [1,4) por que , pero f(x)siempre es menor que 8 en el intervalo dado File:Grafica11.bmp
La siguiente funcion f definida La grafica de f en el intervalo (-3,2]. Esta funcion tiene valor maximo absoluto de 0 en (-3,2]. No existe un valor absoluto de f en (-3,2] debido a que pero F(x) siempre es mayor que -9 en el intervalo dado. File:Grafica12.bmp
Sea f la funcion definida por
entonces
Como f puede tener un extremo relativo en 2. Puesto que f(2)=1 y 1<f(x) cuando x<2 o x>2
Considere la funcion f definida por
Entonces f'(1)=0, f puede tener un extremo relativo en 1 pero como f(1)=2y 2 >f(x) cuando x<1 y 2<f(x) cuando x>1 de modo que f no tiene un extremo relativo. la grafica de esta funcion tiene un recta tangente horizontal en el punto (1,2), lo cual es consistente con el echo de que la derivada sea cero en ese punto. File:Grafica7.bmp
Sea f la funcion definida por
tiene un valor relativo en 3, la derivada por la izquierda en 3 esta dada por f'+(3)=-1 por lo tanto, se concluye que f'(3) no existe.
Es posible que una funcion pueda estar definida en un numero c donde f'(c) no exista y sin embargo, f'(c) no exista y sin embargo f no tenga un extremo relativo en ese numero. File:Grafica8.bmp
Sea la funcion
El dominio de f es el conjunto de todos lo numeros reales, y su derivada
Ademas f'(0) no existe, la funcion no tiene extremos relativos. en resumen si na funcion f esta definida en un numero c, una condicion necesaria para que f tenga un extremo relativo en c es que f'(c)=0 o que f'(c) no exista.Tenga en cuenta que esta condicion es nesesaria pero no suficiente File:Grafica9.bmp
PUNTOS CRITICOS
editSea la funcion definida por
Estime los numeros criticos
Como F'(x) es un polinomio f'(x) existe en todo numero. Por lo tanto los unicos criticos son aquellos valores de x para los que f'(x)=0 esto es, las coordenadas x de los puntos de la grafica de f para los que la recta tangente es horizontal.
Se calculaF'(x) se iguala a cero y se despeja x.
De este modo se ha confirmado que los numeros critivos son -3 , -1 y 1 File:Grafica10.bmp
Determine los numeros criticos de la funcion definida por
Cuando x=-1 f'(x) =0 y cuando F'(x) no existe. Tanto -1 como 0 estan en el dominio de f por los numeros crticos de f son -1 y 0
DERIVADAS
editpara verificar multiplicamos y luego tomamos la derivada Asi
Ecuentre las derivadas de :
si : ,encuentre Dxy podemos escribir y=sen u y u^3-3x
Encuentre Dt
Encuentre : , :
RECTA TANGENTE
editEcuentre una ecuacion de la recta tangente a la parabola en el punto (2,3)
by Camilo_Acosta
PROBLEMAS CON GRAFICAS
edit
Al grafica mostrada se rompe en el punto deonde x=2 por lo que se investigaran las condiciones
1 F(2) no esta definida
Como no se satisface la condicion anterior se sabe que es discontinua en ese punto esto se determina como discontinuidad esencial por que no existe.
Sea la funcion en la grafica Donde es discontinua en 4, el cual pertenece al intervalo cerrado [2,5] g(2)=-1 y g(5)=2. Si k es cualquier numero entre -1 y 2 no hay ningun valor de c entre 2 y 5 tal que g(c)=k. En particular, si k=1, entonces g(6)=1, pero no pertenece al intervalo (2,5)
Determine la asintota vertical de la grafica definida por
ahora determinamos los limites de la funcion
Se concluye que la recta x=3 es una asintota vertical de la grafica de f. La grafica de f concluye la respuesta
Sea la siguiente funcion
Determine a): b): c)grafique
El limite del numerador es de 14, lo cual puede verificarse facilmente
El limite del denominador es 0 y el denominador se aproxima a 0 mediante valores positivos.
B)
En este caso, el limite del denominador es cero, pero el denominador se aproxima a cero por medio de valores negativos
Se investigan las condiciones
1)g(2)=3 2):
- no existe.