Los siguientes ejercicios fueron tomados del Libro "Calculus de Thomas Apostol".
Demuestre :
a
.0
=
0.
a
=
0
{\displaystyle a.0=0.a=0}
Demostración :Por hipótesis decimos que,
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
Por existencia de neutros, podemos sumar un
0
{\displaystyle 0}
a
.0
{\displaystyle a.0}
a
.0
{\displaystyle a.0}
a
.0
+
0
=
a
.0
{\displaystyle a.0+0=a.0}
Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a
a
.0
{\displaystyle a.0}
a
.0
+
a
.0
=
a
.0
{\displaystyle a.0+a.0=a.0}
Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a
a
.0
{\displaystyle a.0}
a
.0
+
0
=
a
.0
+
a
.0
{\displaystyle a.0+0=a.0+a.0}
Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar
a
.0
{\displaystyle a.0}
a
.0
=
0
{\displaystyle a.0=0}
(*)
a
.0
+
a
.0
=
a
.0
{\displaystyle a.0+a.0=a.0}
Por existencia de neutros para la suma, decimos que
a
.0
+
a
.0
=
a
.
(
0
+
0
)
{\displaystyle a.0+a.0=a.(0+0)}
Por existencia neutros, decimos que
0
+
0
=
0
{\displaystyle 0+0=0}
a
.0
+
a
.0
=
a
.0
{\displaystyle a.0+a.0=a.0}
QED "Pablo Quintero"
(
−
a
)
b
=
−
(
a
b
)
{\displaystyle (-a)b=-(ab)}
Demostración :Por hipótesis decimos que,
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
Por existencia de inversos para la suma podemos decir que
a
b
+
(
−
a
b
)
=
0
{\displaystyle ab+(-ab)=0}
Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a
0
{\displaystyle 0}
a
b
+
(
−
a
)
b
=
0
{\displaystyle ab+(-a)b=0}
Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a
0
{\displaystyle 0}
a
b
+
(
−
a
b
)
=
a
b
+
(
−
a
)
b
{\displaystyle ab+(-ab)=ab+(-a)b}
Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar
a
b
{\displaystyle ab}
−
(
a
b
)
=
(
−
a
)
b
{\displaystyle -(ab)=(-a)b}
(*)
a
b
+
(
−
a
)
b
=
0
{\displaystyle ab+(-a)b=0}
Por propiedad distributiva podemos expresar la igualdad como
a
b
+
(
−
a
)
b
=
[
a
+
(
−
a
)
]
b
{\displaystyle ab+(-a)b=[a+(-a)]b}
Por existencia de inverso para la suma decimos que,
a
b
+
(
−
a
)
b
=
[
0
]
b
{\displaystyle ab+(-a)b=[0]b}
Por Teorema
a
.0
=
0.
a
=
0
{\displaystyle a.0=0.a=0}
a
b
+
(
−
a
)
b
=
0
{\displaystyle ab+(-a)b=0}
QED "Pablo Quintero"
(
a
/
b
)
+
(
c
/
d
)
=
[
(
a
d
+
b
c
)
/
b
d
]
{\displaystyle (a/b)+(c/d)=[(ad+bc)/bd]}
Demostración :Por hipótesis decimos que,
a
,
c
∈
R
{\displaystyle a,c\in \mathbb {R} }
y
b
,
d
∈
R
−
(
0
)
{\displaystyle b,d\in \mathbb {R} -(0)}
Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad
(
a
/
b
)
+
(
c
/
d
)
=
(
a
b
−
1
)
+
(
c
d
−
1
)
{\displaystyle (a/b)+(c/d)=(ab^{-}1)+(cd^{-}1)}
Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar la expresión por
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
(
b
d
)
(
b
d
)
−
1.
:<
m
a
t
h
>
(
a
b
−
1
)
+
(
c
d
−
1
)
=
[
(
a
b
−
1
)
+
(
c
d
−
1
)
]
(
b
d
)
(
b
d
)
−
1
{\displaystyle (bd)(bd)^{-}1.:<math>(ab^{-}1)+(cd^{-}1)=[(ab^{-}1)+(cd^{-}1)](bd)(bd)^{-}1}
Por propiedad distributiva tenemos que
(
a
b
−
1
)
+
(
c
d
−
1
)
=
[
(
a
b
−
1
)
(
b
d
)
+
(
c
d
−
1
)
(
b
d
)
]
(
b
d
)
−
1
{\displaystyle (ab^{-}1)+(cd^{-}1)=[(ab^{-}1)(bd)+(cd^{-}1)(bd)](bd)^{-}1}
Por las propiedades: conmutativa, asociativa y existencia del reciproco, tenemos que
(
a
/
b
)
+
(
c
/
d
)
=
[
(
a
d
)
+
(
b
c
)
]
(
b
a
−
1
)
{\displaystyle (a/b)+(c/d)=[(ad)+(bc)](ba^{-}1)}
Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a
(
a
/
b
)
+
(
c
/
d
)
=
[
(
a
d
+
b
c
)
/
b
d
]
{\displaystyle (a/b)+(c/d)=[(ad+bc)/bd]}
QED "Pablo Quintero"
−
0
=
0
/
(
b
c
)
{\displaystyle -0=0/(bc)}
Demostración :Por hipótesis decimos que,
0
∈
R
{\displaystyle 0\in \mathbb {R} }
y
−
0
∈
R
{\displaystyle -0\in \mathbb {R} }
Por existencia de inverso para la suma tenemos que
0
+
(
−
0
)
=
0
{\displaystyle 0+(-0)=0}
Por existencia de neutros para la suma tenemos que
0
+
0
=
0
{\displaystyle 0+0=0}
Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a
0
{\displaystyle 0}
0
+
(
−
0
)
=
0
+
0
{\displaystyle 0+(-0)=0+0}
Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b, cancelamos
0
{\displaystyle 0}
(
−
0
)
=
0
{\displaystyle (-0)=0}
QED "Pablo Quintero"
(
a
−
b
)
+
(
b
−
c
)
=
(
a
−
c
)
{\displaystyle (a-b)+(b-c)=(a-c)}
Demostración :Por hipótesis decimos que,
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }
Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad
(
a
−
b
)
+
(
b
−
c
)
=
[
a
+
(
−
b
)
]
+
[
b
+
(
−
c
)
]
{\displaystyle (a-b)+(b-c)=[a+(-b)]+[b+(-c)]}
Por propiedad asociativa tenemos que
(
a
−
b
)
+
(
b
−
c
)
=
[
a
+
[
(
−
b
)
+
b
]
]
+
(
−
c
)
{\displaystyle (a-b)+(b-c)=[a+[(-b)+b]]+(-c)}
Por existencia de inverso para la suma tenemos que
(
a
−
b
)
+
(
b
−
c
)
=
[
a
+
0
]
+
(
−
c
)
<
/
m
a
t
h
P
o
r
e
x
i
s
t
e
n
c
i
a
d
e
n
e
u
t
r
o
s
p
a
r
a
l
a
s
u
m
a
t
e
n
e
m
o
s
q
u
e
:<
m
a
t
h
>
(
a
−
b
)
+
(
b
−
c
)
=
a
+
(
−
c
)
{\displaystyle (a-b)+(b-c)=[a+0]+(-c)</mathPorexistenciadeneutrosparalasumatenemosque:<math>(a-b)+(b-c)=a+(-c)}
Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a
(
a
−
b
)
+
(
b
−
c
)
=
(
a
−
c
)
{\displaystyle (a-b)+(b-c)=(a-c)}
QED "Pablo Quintero"
(
−
a
/
b
)
=
(
−
a
)
/
b
{\displaystyle (-a/b)=(-a)/b}
Demostración :Por hipótesis decimos que,
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
y
b
∈
R
−
(
0
)
{\displaystyle b\in \mathbb {R} -(0)}
Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad
(
−
a
/
b
)
=
(
−
a
b
−
1
)
{\displaystyle (-a/b)=(-ab^{-}1)}
Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar la expresión por
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
(
b
)
(
b
−
1
)
.
:<
m
a
t
h
>
(
−
a
/
b
)
=
(
−
a
b
−
1
)
(
b
)
(
b
−
1
)
{\displaystyle (b)(b^{-}1).:<math>(-a/b)=(-ab^{-}1)(b)(b^{-}1)}
Por propiedad asociativa tenemos que
(
−
a
/
b
)
=
[
(
−
a
b
−
1
)
(
b
)
]
(
b
−
1
)
{\displaystyle (-a/b)=[(-ab^{-}1)(b)](b^{-}1)}
Por propiedad asociativa tenemos que
(
−
a
/
b
)
=
[
(
−
a
)
[
(
b
−
1
)
b
]
]
(
b
−
1
)
{\displaystyle (-a/b)=[(-a)[(b^{-}1)b]](b^{-}1)}
Por existencia del reciproco tenemos que
(
−
a
/
b
)
=
[
(
−
a
)
(
1
)
]
(
b
−
1
)
{\displaystyle (-a/b)=[(-a)(1)](b^{-}1)}
Por existencia de neutros para la multiplicación tenemos que
(
−
a
/
b
)
=
(
−
a
)
(
b
−
1
)
{\displaystyle (-a/b)=(-a)(b^{-}1)}
Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a
(
−
a
/
b
)
=
(
−
a
)
/
b
{\displaystyle (-a/b)=(-a)/b}
QED "Pablo Quintero"
Desigualdades
edit
Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Calculo de Edwin J. Purcell, sexta edición".
Resuelva :
(
−
6
)
<
(
2
x
+
3
)
<
(
−
1
)
{\displaystyle (-6)<(2x+3)<(-1)}
Respuesta :Se suma
−
3
{\displaystyle -3}
3
{\displaystyle 3}
(
−
6
−
3
)
<
(
2
x
+
3
−
3
)
<
(
−
1
−
3
)
{\displaystyle (-6-3)<(2x+3-3)<(-1-3)}
Operando se obtiene
(
−
9
)
<
(
2
x
)
<
(
−
4
)
{\displaystyle (-9)<(2x)<(-4)}
Se divide por
2
{\displaystyle 2}
2
{\displaystyle 2}
(
−
9
/
2
)
<
(
2
x
/
2
)
<
(
−
4
/
2
)
{\displaystyle (-9/2)<(2x/2)<(-4/2)}
Operando se obtiene
(
−
9
/
2
)
<
(
x
)
<
(
−
2
)
{\displaystyle (-9/2)<(x)<(-2)}
Se da el resultado en términos de intervalos
(
−
9
/
2
,
−
2
)
{\displaystyle (-9/2,-2)}
"Pablo Quintero"
(
10
x
+
1
)
>
(
8
x
+
5
)
{\displaystyle (10x+1)>(8x+5)}
Respuesta :Se pasa
(
8
x
+
5
)
{\displaystyle (8x+5)}
10
x
+
1
−
8
x
−
5
>
0
{\displaystyle 10x+1-8x-5>0}
Operando se obtiene
2
x
−
4
>
0
{\displaystyle 2x-4>0}
Se pasa el
4
{\displaystyle 4}
2
x
>
4
{\displaystyle 2x>4}
Se pasa el
2
{\displaystyle 2}
x
>
4
/
2
{\displaystyle x>4/2}
Operando se obtiene
x
>
2
{\displaystyle x>2}
Se da el resultado en términos de intervalos
(
2
,
∞
)
{\displaystyle (2,\infty )}
"Pablo Quintero"
(
3
x
+
5
)
>
(
7
x
+
17
)
{\displaystyle (3x+5)>(7x+17)}
Respuesta :Se pasa
(
7
x
+
17
)
{\displaystyle (7x+17)}
3
x
+
5
−
7
x
−
17
>
0
{\displaystyle 3x+5-7x-17>0}
Operando se obtiene
−
4
x
−
12
>
0
{\displaystyle -4x-12>0}
Se pasa el
−
12
{\displaystyle -12}
−
4
x
>
12
{\displaystyle -4x>12}
Se pasa el
−
4
{\displaystyle -4}
x
<
−
12
/
4
{\displaystyle x<-12/4}
Operando se obtiene
x
<
−
3
{\displaystyle x<-3}
Se da el resultado en términos de intervalos
(
−
∞
,
−
3
)
{\displaystyle (-\infty ,-3)}
"Pablo Quintero"
(
2
+
3
x
)
<
(
5
x
+
1
)
<
(
16
)
{\displaystyle (2+3x)<(5x+1)<(16)}
Respuesta :Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad
(
2
+
3
x
)
<
(
5
x
+
1
)
{\displaystyle (2+3x)<(5x+1)}
(
5
x
+
1
)
<
(
16
)
{\displaystyle (5x+1)<(16)}
Se pasa
(
5
x
+
1
)
{\displaystyle (5x+1)}
1
{\displaystyle 1}
2
+
3
x
−
5
x
−
1
<
0
{\displaystyle 2+3x-5x-1<0}
5
x
<
16
−
1
{\displaystyle 5x<16-1}
Operando se obtiene
1
−
2
x
<
0
{\displaystyle 1-2x<0}
5
x
<
15
{\displaystyle 5x<15}
Se pasa el
1
{\displaystyle 1}
5
{\displaystyle 5}
−
2
x
<
−
1
{\displaystyle -2x<-1}
x
<
15
/
5
{\displaystyle x<15/5}
Se pasa a dividir el
−
2
{\displaystyle -2}
x
>
−
1
/
−
2
{\displaystyle x>-1/-2}
x
<
15
/
5
{\displaystyle x<15/5}
Operando se obtiene
x
>
1
/
2
{\displaystyle x>1/2}
x
<
3
{\displaystyle x<3}
Ordenando la desigualdad se obtiene
1
/
2
<
x
<
3
{\displaystyle 1/2<x<3}
Se da el resultado en términos de intervalos
(
1
/
2
,
3
)
{\displaystyle (1/2,3)}
"Pablo Quintero"
(
2
x
−
4
)
<
(
6
−
7
x
)
<
(
3
x
+
6
)
{\displaystyle (2x-4)<(6-7x)<(3x+6)}
Respuesta :Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad
(
2
x
−
4
)
<
(
6
−
7
x
)
{\displaystyle (2x-4)<(6-7x)}
(
6
−
7
x
)
<
(
3
x
+
6
)
{\displaystyle (6-7x)<(3x+6)}
Se pasa
(
6
−
7
x
)
{\displaystyle (6-7x)}
(
3
x
+
6
)
{\displaystyle (3x+6)}
2
x
−
4
−
6
+
7
x
<
0
{\displaystyle 2x-4-6+7x<0}
6
−
7
x
−
3
x
−
6
<
0
{\displaystyle 6-7x-3x-6<0}
Operando se obtiene
−
10
+
9
x
<
0
{\displaystyle -10+9x<0}
−
10
x
<
0
{\displaystyle -10x<0}
Se pasa el
−
10
{\displaystyle -10}
−
10
{\displaystyle -10}
9
x
<
10
{\displaystyle 9x<10}
x
>
−
1
/
10
{\displaystyle x>-1/10}
Se pasa a dividir el
9
{\displaystyle 9}
x
<
10
/
9
{\displaystyle x<10/9}
x
>
−
1
/
10
{\displaystyle x>-1/10}
Ordenando la desigualdad se obtiene
−
1
/
10
<
x
<
10
/
9
{\displaystyle -1/10<x<10/9}
Se da el resultado en términos de intervalos
(
−
1
/
10
,
10
/
9
)
{\displaystyle (-1/10,10/9)}
"Pablo Quintero"
|
x
−
5
|
<
|
x
+
1
|
{\displaystyle |x-5|<|x+1|}
Respuesta :Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo
(
x
−
5
)
2
<
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle (x-5)^{2}<(x+1)^{2}}
Factorizando se obtiene
x
2
−
10
x
+
25
<
x
2
+
2
x
+
1
{\displaystyle x^{2}-10x+25<x^{2}+2x+1}
Se pasa
(
x
2
+
2
x
+
1
)
{\displaystyle (x^{2}+2x+1)}
x
2
−
10
x
+
25
−
x
2
−
2
x
−
1
<
0
{\displaystyle x^{2}-10x+25-x^{2}-2x-1<0}
Operando se obtiene
−
12
x
+
24
<
0
{\displaystyle -12x+24<0}
Se pasa el
24
{\displaystyle 24}
−
12
x
<
−
24
{\displaystyle -12x<-24}
Se pasa a dividir el
−
12
{\displaystyle -12}
x
>
−
24
/
−
12
{\displaystyle x>-24/-12}
Operando se obtiene
x
>
2
{\displaystyle x>2}
Se da el resultado en términos de intervalos
(
2
,
∞
)
{\displaystyle (2,\infty )}
"Pablo Quintero"
|
3
x
+
3
/
x
+
1
|
<
1
{\displaystyle |3x+3/x+1|<1}
Respuesta :Por propiedades del valor absoluto, se puede expresar la desigualdad como
|
3
x
+
3
|
/
|
x
+
1
|
<
1
{\displaystyle |3x+3|/|x+1|<1}
Se pasa a multiplicar
|
x
+
1
|
{\displaystyle |x+1|}
|
3
x
+
3
|
<
|
x
+
1
|
{\displaystyle |3x+3|<|x+1|}
Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo
(
3
x
+
3
)
2
<
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle (3x+3)^{2}<(x+1)^{2}}
Factorizando se obtiene
x
2
+
6
x
+
9
<
x
2
+
2
x
+
1
{\displaystyle x^{2}+6x+9<x^{2}+2x+1}
Se pasa
(
x
2
+
2
x
+
1
)
{\displaystyle (x^{2}+2x+1)}
x
2
+
6
x
+
9
−
x
2
−
2
x
−
1
<
0
{\displaystyle x^{2}+6x+9-x^{2}-2x-1<0}
Operando se obtiene
4
x
+
8
<
0
{\displaystyle 4x+8<0}
Se pasa el
8
{\displaystyle 8}
4
x
<
−
8
{\displaystyle 4x<-8}
Se pasa a dividir el
4
{\displaystyle 4}
x
<
−
8
/
4
{\displaystyle x<-8/4}
Operando se obtiene
x
<
−
2
{\displaystyle x<-2}
Se da el resultado en términos de intervalos
(
−
∞
,
−
2
)
{\displaystyle (-\infty ,-2)}
"Pablo Quintero"
Derivadas
edit
Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".
De las siguientes funciones, encuentre sus derivadas:
f
(
x
)
=
1
−
x
2
2
{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2}]{1-x^{2}}}}
Respuesta :
f
′
(
x
)
=
−
x
1
−
x
2
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {-x}{\sqrt[{2}]{1-x^{2}}}}}
"Pablo Quintero" 2.
f
(
x
)
=
x
2
+
x
+
1
x
2
−
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}}}
Respuesta :
f
′
(
x
)
=
(
2
x
+
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
−
(
2
x
−
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {(2x+1)(x^{2}-x+1)-(2x-1)(x^{2}+x+1)}{(x^{2}-x+1)^{2}}}}
f
′
(
x
)
=
−
2
(
x
2
−
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {-2(x^{2}-1)}{(x^{2}-x+1)^{2}}}}
"Pablo Quintero" 3.
f
(
x
)
=
x
a
x
2
−
a
2
+
x
a
x
2
+
a
2
{\displaystyle f(x)={\frac {xa}{x^{2}-a^{2}}}+{\frac {xa}{x^{2}+a^{2}}}}
Respuesta :
f
′
(
x
)
=
a
(
x
2
−
a
2
)
−
x
a
(
2
x
)
(
x
2
−
a
2
)
2
+
a
(
x
2
+
a
2
)
−
x
a
(
2
x
)
(
x
2
+
a
2
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {a(x^{2}-a^{2})-xa(2x)}{(x^{2}-a^{2})^{2}}}+{\frac {a(x^{2}+a^{2})-xa(2x)}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}}
f
′
(
x
)
=
−
a
(
x
2
−
a
2
)
(
x
2
−
a
2
)
2
+
a
(
x
2
+
a
2
)
(
x
2
+
a
2
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {-a(x^{2}-a^{2})}{(x^{2}-a^{2})^{2}}}+{\frac {a(x^{2}+a^{2})}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}}
"Pablo Quintero" 4.
f
(
x
)
=
x
−
x
2
x
+
x
2
{\displaystyle f(x)={\frac {x-{\sqrt[{2}]{x}}}{x+{\sqrt[{2}]{x}}}}}
Respuesta :
f
′
(
x
)
=
(
1
−
1
/
2
x
2
)
(
x
+
x
2
)
−
(
x
−
x
2
)
(
1
−
1
/
2
x
2
)
(
x
+
x
2
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {(1-1/2{\sqrt[{2}]{x}})(x+{\sqrt[{2}]{x}})-(x-{\sqrt[{2}]{x}})(1-1/2{\sqrt[{2}]{x}})}{(x+{\sqrt[{2}]{x}})^{2}}}}
f
′
(
x
)
=
2
x
2
+
1
(
x
+
x
2
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {2{\sqrt[{2}]{x}}+1}{(x+{\sqrt[{2}]{x}})^{2}}}}
"Pablo Quintero" 5.
f
(
x
)
=
2
x
2
+
x
−
8
3
x
+
2
{\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}+x-8}{3x+2}}}
Respuesta :
f
′
(
x
)
=
(
4
x
+
1
)
(
3
x
+
2
)
−
3
(
2
x
2
+
x
−
8
)
(
3
x
+
2
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {(4x+1)(3x+2)-3(2x^{2}+x-8)}{(3x+2)^{2}}}}
f
′
(
x
)
=
6
x
2
−
8
x
+
26
(
3
x
+
2
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {6x^{2}-8x+26}{(3x+2)^{2}}}}
"Pablo Quintero" 6.
f
(
x
)
=
x
2
∗
a
2
x
3
+
a
3
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}*a^{2}}{x^{3}+a^{3}}}}
Respuesta :
f
′
(
x
)
=
2
x
a
2
(
x
3
+
a
3
)
−
3
x
2
(
x
2
∗
a
2
)
(
x
3
+
a
3
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {2xa^{2}(x^{3}+a^{3})-3x^{2}(x^{2}*a^{2})}{(x^{3}+a^{3})^{2}}}}
f
′
(
x
)
=
x
a
2
(
2
a
3
−
x
3
)
(
x
3
+
a
3
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {xa^{2}(2a^{3}-x^{3})}{(x^{3}+a^{3})^{2}}}}
"Pablo Quintero" 7.
f
(
x
)
=
(
x
+
1
x
−
1
)
3
2
{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2}]{({\frac {x+1}{x-1}})^{3}}}}
Respuesta :
f
′
(
x
)
=
(
x
+
1
x
−
1
)
3
/
2
{\displaystyle f'(x)=({\frac {x+1}{x-1}})^{3}/2}
f
′
(
x
)
=
3
/
2
(
x
+
1
x
−
1
)
1
/
2
∗
(
x
−
1
)
−
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle f'(x)=3/2({\frac {x+1}{x-1}})^{1}/2*{\frac {(x-1)-(x+1)}{(x-1)^{2}}}}
f
′
(
x
)
=
−
3
(
x
−
1
)
2
∗
x
+
1
x
−
1
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {-3}{(x-1)^{2}}}*{\sqrt[{2}]{\frac {x+1}{x-1}}}}
"Pablo Quintero"
Máximos y Mínimos
edit
Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".
1.Para enviar cierto tipo de paquetes por correo la empresa transportadora exige que sean de base cuadrado y que la suma de sus lados no supere 150 cm. Halle el volumen máximo que estos paquetes pueden encerrar.
Sean x, x, y las dimensiones del paquete, entonces
x
+
x
+
y
=
150
{\displaystyle x+x+y=150}
El volumen del paquete
V
=
x
2
y
{\displaystyle V=x^{2}y}
V
=
x
2
y
=
x
2
(
150
−
2
x
)
{\displaystyle V=x^{2}y=x^{2}(150-2x)}
(0 ≤ x ≤ 75)
d
V
/
d
x
=
300
x
−
6
x
2
=
0
{\displaystyle dV/dx=300x-6x^{2}=0}
entonces
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
50
{\displaystyle x=50}
tenemos que cuando
x
=
0
{\displaystyle x=0}
V
=
0
{\displaystyle V=0}
x
=
50
{\displaystyle x=50}
V
=
50
3
{\displaystyle V=50^{3}}
x
=
75
{\displaystyle x=75}
V
=
0
{\displaystyle V=0}
50
3
=
125000
c
m
3
{\displaystyle 50^{3}=125000cm^{3}}
"Pablo Quintero"
y
=
3
x
2
+
7
x
{\displaystyle y=3x2+7x}
y
=
3
x
{\displaystyle y=3x}
Halle la longitud máxima del segmento PQ.
PQ=f(x)=|
(
3
x
2
+
7
x
)
{\displaystyle (3x^{2}+7x)}
(
3
x
)
{\displaystyle (3x)}
|
3
x
2
+
4
x
|
{\displaystyle |3x^{2}+4x|}
PQ=
3
x
2
+
4
x
{\displaystyle 3x^{2}+4x}
x
∈
(
−
∞
,
−
4
/
3
)
U
(
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ,-4/3)U(0,\infty )}
PQ=
<
m
a
t
h
>
−
3
x
2
{\displaystyle <math>-3x^{2}}
x
∈
(
−
4
/
3
,
0
)
{\displaystyle x\in (-4/3,0)}
f’(x)=
6
x
+
4
x
{\displaystyle 6x+4x}
x
∈
(
−
∞
,
−
4
/
3
)
U
(
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ,-4/3)U(0,\infty )}
f’(x)=
<
m
a
t
h
>
−
6
x
{\displaystyle <math>-6x}
x
∈
(
−
4
/
3
,
0
)
{\displaystyle x\in (-4/3,0)}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
∞
{\displaystyle \infty }
Luego f toma un máximo local en
x
=
−
2
/
3
{\displaystyle x=-2/3}
"Pablo Quintero"
Sea S=x2+y2 donde x+y=1
(x≥0, y≥0)
entonces S=
x
2
+
(
1
−
x
)
2
{\displaystyle x^{2}+(1-x)^{2}}
2
x
2
{\displaystyle 2x^{2}}
2
x
+
1
{\displaystyle 2x+1}
Los puntos críticos de S:
dS/dx=
4
x
{\displaystyle 4x}
2
{\displaystyle 2}
0
{\displaystyle 0}
x
=
1
/
2
{\displaystyle x=1/2}
S
=
1
/
2
{\displaystyle S=1/2}
Los valores de S en los extremos son:
S(0)=1, S(1)=1 Entonces:
S(0)=S(1)=1 (máximo de S) S(1/2)=1/2 (mínimo de S)
"Pablo Quintero"
Razón de Cambio
edit
Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".
Sea V, S el volumen y la superficie de la esfera de radio r, entonces
V=
4
/
3
π
r
3
{\displaystyle 4/3\pi r^{3}}
S=
4
π
r
2
{\displaystyle 4\pi r^{2}}
entonces
dV/dt =
4
π
r
2
{\displaystyle 4\pi r^{2}}
dS/dt=
8
π
r
{\displaystyle 8\pi r}
Si dr/dt =
1
{\displaystyle 1}
=
0.1
{\displaystyle 0.1}
10
{\displaystyle 10}
entonces
dV/dt=
4
π
10
2
(
0.1
)
=
40
π
{\displaystyle 4\pi 10^{2}(0.1)=40\pi }
dS/dt=
8
π
10
(
0.1
)
=
8
π
{\displaystyle 8\pi 10(0.1)=8\pi }
c
m
2
{\displaystyle cm^{2}}
"Pablo Quintero" 2.Para gases ideales se sabe que PV=constante, siendo P la presión del gas y V el volumen del recipiente que lo contiene. Cómo varía la presión de un gas contenido en un recipiente que disminuye su volumen a la razón de 10c.c./seg., cuando V=
500
c
.
c
.
y
P
=<
m
a
t
h
>
15
{\displaystyle 500c.c.yP=<math>15}
c
m
2
{\displaystyle cm^{2}}
PV=c (c = constante) Entonces
(dV/dtV+PdV/dt)=
0
{\displaystyle 0}
Pero
dV/dt=
−
10
{\displaystyle -10}
c
m
3
{\displaystyle cm^{3}}
V=
500
{\displaystyle 500}
c
m
3
{\displaystyle cm^{3}}
P=
15
{\displaystyle 15}
c
m
2
{\displaystyle cm^{2}}
entonces
dP/dt=-(P/V)dV/dt=
−
15
/
500
(
−
10
)
{\displaystyle -15/500(-10)}
0.3
{\displaystyle 0.3}
"Pablo Quintero" 3.Los ejes mayor y menor de una elipse aumentan sus longitudes a las velocidades respectivas de 1cm/seg, y 2cm/seg. A qué rata crece su área cuando el eje mayor mide 10 cm y el eje menor 6 cm?.
(Área de una elipse: S=
π
{\displaystyle \pi }
Sean a,b los ejes mayor y menor de la elipse, entonces el área de la elipse S es:
S=
π
{\displaystyle \pi }
dS/dt=
π
{\displaystyle \pi }
π
{\displaystyle \pi }
Pero
da/dt =
1
{\displaystyle 1}
db/dt =
2
{\displaystyle 2}
. Entonces
dS/dt=pb+
2
π
{\displaystyle 2\pi }
π
{\displaystyle \pi }
2
π
(
10
)
{\displaystyle 2\pi (10)}
26
π
{\displaystyle 26\pi }
c
m
2
{\displaystyle cm^{2}}
"Pablo Quintero" 
![{\displaystyle ab+(-a)b=[a+(-a)]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a7b93081b907d127e147e892310b892689f673)
![{\displaystyle ab+(-a)b=[0]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01dfcea7a2518f7cec39f7a22b83972d2add863a)
![{\displaystyle (a/b)+(c/d)=[(ad+bc)/bd]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c599891cf84d29e1fcac4655e21e61c12cd68ac)
(bd)^{-}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea124e499413461e80e73f694b15692fa8b6fe4)
^{-}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d4a1fbc9523b6a2a742d8cfc48d0c60c4e84e0)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd7274482825015da2dce253c633442e9a8805d)
![{\displaystyle (a-b)+(b-c)=[a+(-b)]+[b+(-c)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c13530b1b8d0632ca552b7124af827ba1f54a6)
![{\displaystyle (a-b)+(b-c)=[a+[(-b)+b]]+(-c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a00d5fde6f335d69555006965d9a44ba4c88ad)
![{\displaystyle (a-b)+(b-c)=[a+0]+(-c)</mathPorexistenciadeneutrosparalasumatenemosque:<math>(a-b)+(b-c)=a+(-c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08978959c236f4b81f8420458a734ebc998eaa4)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031e14bd03e11efb53f4396bcac6927953225132)
![{\displaystyle (-a/b)=[(-a)[(b^{-}1)b]](b^{-}1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b71276f5de3ea5104a3dede4744945f63353c8)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7ff4ab6e64cdc8399962b0f1d985400aaea144)
![{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2}]{1-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8f760e4e5e417bd744d4b73caa4abdddb68b5d)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {-x}{\sqrt[{2}]{1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38c5d4d02009e9fe553afae107439af7d22293e)
![{\displaystyle f(x)={\frac {x-{\sqrt[{2}]{x}}}{x+{\sqrt[{2}]{x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd28d2e316f7bc26c45b7d0204b4eee4141bd75)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {(1-1/2{\sqrt[{2}]{x}})(x+{\sqrt[{2}]{x}})-(x-{\sqrt[{2}]{x}})(1-1/2{\sqrt[{2}]{x}})}{(x+{\sqrt[{2}]{x}})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272496c5a8f4038d2322fdcb4efdff107d45a579)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {2{\sqrt[{2}]{x}}+1}{(x+{\sqrt[{2}]{x}})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86811c55f89cfa7a68abf83224fd89424dce2e71)
![{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2}]{({\frac {x+1}{x-1}})^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87add4733f186878780a8ba84276b078c0c9f48c)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {-3}{(x-1)^{2}}}*{\sqrt[{2}]{\frac {x+1}{x-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3a76f7c3657b2a07ec45a7fbff1717c90eef92)
