"Lina Rincon"

Dedicatoria

Esta pagina como cualquier pansamiento de calculo por mas minimo que sea se lo dedico al Profesor Alejandro Bello en muestra, de que si fuy capas y que muchas veces la perdida de una materia no es absoluta culpa del alumno si no tambien del profesor. Manos mal en este vacional, enconre a tres profesores aunque solo nos tocara dos, y cada uno mas que dejarme conocimientos de calculo, me devolvieron la confianza y el cariño natural que siente una ingeniera por el calculo.

Lina Maria Rincón Sotelo

Agradecimiento

Es para mi extraño escribir un agradecimiento sin hacer uso de la tinta, pero lo importante es la inspiración que proviene de la satisfaccion de lo echo y aun mas cuando existe tanta dedicacion y esfuerzo de mi parte. Pero como yo no soy autosufiente ha personas a las cuales le agradesco, empesemos por mi papá, gracias papi pues eres el es que paga la cuenta de internet para q yo pueda trabajar en este proyecto y asi no me tire calculo por insegura, tambien debo agradecer a Camilo mi monitor por sus exelentes claras y concisas explicaciones, a el profe Offray ya que gracias a el aprendi utilizar un editor de ecuaciones, por compartir con nosotros experiencias de las cuales siempre me acordare y tendre presentes y ademas por no tomar represarias por vernos mi, a Pablito y Jaimito donde el paisa.

Lina Maria Rincon Sotelo

Axiomas

Demuestre:

1.$\ F(x)={\sqrt[{2}]{2}}$ es irracional

Demostración:

Se supone que $\ F(x)={\sqrt[{2}]{2}}$ es ${\frac {p}{q}}$; Existe un m.c.d. de ${\frac {p}{q}}=1,q$ diferente de $\ 0$

(1)$\ F(x)={\sqrt[{2}]{2}}={\frac {p}{q}}$ Por Hipotesis

(2)$\ F(x)=2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$ Por Notancion

(3)$\ p^{2}=2.q^{2}$ impica $\ p^{2}=$ numero par entero positivo implica, $p=$ número entero positivo

(4)p es par; exixte un m q pertenece a los naturales tal que $p=2m$

(5)$\ p^{2}=2q^{2}$

(6)$\ (2m)^{2}=2q^{2}$ Reemplazando (4)en(5)

(7)$\ 4m^{2}=2q^{2}$

(8)$\ 2m^{2}=q^{2}$

(9)$\ q^{2}$ = es un numero par y esto implica que

q es un numero par

por lo tanto esto contradice que el m. c. d. entre p/q sea 1

"Lina Rincon"

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2.Demuestre que si $\ a^{2}<b^{2}$ implica $\ a<b$

Demostración:

(1)$\ a,b,c$ pertenecen a los reales Por Hipotesis

(2)$\ a^{2}<b^{2}$ Por Hipotesis

(3)$\ b^{2}-a^{2}<0$

(4)$\ (a+b)(a-b)>0$

(5)$\ b-a>0$ por que $\ b+a<0$

(6)$\ b>a$

(7)$\ a<b$

"Lina Rincon"

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3.Demuestre que si ${\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$ implica $\ a<b$

Demostración:

(1)$\ a,b,1$ pertenecen a los reales Por Hipotesis

(2)${\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$

(3)${\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}>0$

(4)$\ a.b{\frac {(}{1}}{a}-{\frac {1}{b}})>0(a.b)$ por teorema 10

(5)${\frac {a.b}{a}}-{\frac {a.b}{b}}>0$

(6)$\ b-a>0$

(7)$\ a<b$ Por Propiedad Simetrica de la Igualdad

"Lina Rincon"

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4.Demuestre que si $\ a<b$ implica $\ a<{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}<b$

Demostración:

(1)$\ a,b$pertenecen a los reales.Por Hipotesis

(2)$\ a<b$

(3)$\ a+a<a+b,b+a<b+b$

(4)$\ 2a<a.b,b.a<2b$ por teorema 10

(5)$\ a<{\frac {a+b}{2}},{\frac {b+a}{2}}<b$

(6)$\ a<{\frac {a+b}{2}}<b$

"Lina Rincon"

Inecuaciones

1.Reuelva:

$\ |2x-1|$ mayor o igual $\ |x+1|$

Respuesta:

$\ {|2x-1|}^{2}$mayor o igual$\ {|x+1|}^{2}$

$\ {(2x-1)}^{2}$mayor o igual$\ {(x+1)}^{2}$

$\ {(2x-1)}^{2}-{(x+1)}^{2}$mayor o igual$\ 0$

$\ {((2x-1)+(x+1))}{((2x-1)-(x+1))}$mayor o igual$\ 0$

$\ {(2x-1+x+1)}{(2x-1-x-1)}$mayor o igual$\ 0$

$\ {(3x)}{(x-2)}$mayor o igual$\ 0$

$\ {(3x)}$mayor o igual$\ 0$ , $\ {(x-2)}$mayor o igual$\ 0$

$\ {x}$mayor o igual$\ 0$ , $\ {x}$mayor o igual$\ 2$

$\ (-infinito,0]$ unido $\ [2,+infinito)$

"Lina Rincon"

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2.Reuelva:

$\ -5$ menor o igual $\ 2x+6<4$

Respuesta:

$\ -5$menor o igual$\ 2x+6$ ; $\ 2x+6<4$

$\ -5-6$menor o igual$\ 2x$ ; $\ 2x<4-6$

$\ -11$menor o igual$\ 2x$ ; $\ 2x<-2$

${\frac {-11}{2}}$menor o igual${x};x<{\frac {-2}{2}}$

${\frac {-11}{2}}$menor o igual $\ x<-1$

$\ [{\frac {-11}{2}},1)$

"Lina Rincon"

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3.Reuelva:

${\frac {x}{4+x}}$ menor o igual ${\frac {1}{x-1}}$

Respuesta:

${\frac {x}{4+x}}$ - ${\frac {1}{x-1}}$ menor o igual $\ 0$

${\frac {x^{2}+x-4-x}{(4+x)(x+1)}}$ menor o igual $\ 0$

${\frac {x^{2}-4}{(4+x)(x+1)}}$ menor o igual $\ 0$

${\frac {(x-2)(x+2)}{(4+x)(x+1)}}$ menor o igual $\ 0$

Relizamos sementerio y la rta es $\ (-4,-2]$ u $\ (-1,2]$

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4.Reuelva:

$\ 7+|3x-5|$ menor o igual $\ 15$

Respuesta:

Despejando tenemos

$\ |3x-5|$ menor o igual $\ 15-7$

$\ |3x-5|$ menor o igual $\ 8$

Es decir que

$\ -8$menor o igual$\ 3x-5$ menor o igual $\ 8$

$\ -3$menor o igual$\ 3x$ menor o igual $\ 13$

${\frac {-3}{3}}$menor o igual$\ 3x$ menor o igual ${\frac {13}{3}}$

$\ -1$menor o igual$\ 3x$ menor o igual ${\frac {13}{3}}$

Rta $\ [-1,{\frac {13}{3}}]$

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5.Reuelva:

$\ |3-2x|$ > $\ |x+1|$

Respuesta:

$\ {(3-2x)}^{2}$ > $\ {(x+1)}^{2}$

$\ {(3-2x)}^{2}$ - $\ {(x+1)}^{2}$ > $\ 0$

$\ [(3-2x)-(x+1)]$ . $\ [(3-2x)+(x+1)]$ > $\ 0$

$\ (2-3x)$ . $\ ()$ > $\ 0$

Realizamos sementerio

Rta $\ (-infinito,{\frac {2}{3}})<math>\ (4,+infinito)$

Fuciones

Los siguientes ejercicios fueron tomados del purcel octava edición Diga si la funcion es ó no es continua en tres y por que?

1.$\ f(x)=x^{2}-9$

$\ 3^{2}-9$

$\ 9-9$

$\ 0$

Si es continua ya que toda funcion polinomial es continua.

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2.$\ h(x)={\frac {3}{x-3}}$

${\frac {3}{3-3}}$

${\frac {3}{0}}$

No es continua ya que el denominador de la funcion recional se hace $\ 0$

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3.$\ h(t)={\sqrt[{2}]{t-4}}$

${\sqrt[{2}]{3-4}}$

${\sqrt[{2}]{-1}}$

No es continua pues el termino n-esimo es par y el numero c no puede ser negativo

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4.$\ h(t)={\frac {|t-3|}{t-3}}$

${\frac {|t-3|}{3-3}}$

${\frac {|t-3|}{0}}$

No es continua ya que el denominador se hace cero ademas esta funcion es escalonada

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5.$\ g(f)=|f-2|$

$\ |3-2|$

$\ |1|$

$\ 1$

Si es continua pues la funcion valor absoluto es continua en todos los reales

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6.Dada las funciones

$\ f(x)={\frac {6x}{x^{2}-9}}$

$\ g(x)={\sqrt[{2}]{3-4}}$

a.Hallar sus dominios

b.Hallar f compuesta de g

c.Hallar f compuesta de g y evaluar cuando x=2

a.Dominio de f son todos los reales y de g son $\ [0,infinito)$

b.$\ f(g(x))={\frac {6{\sqrt[{2}]{3x}}}{{\sqrt[{2}]{3x}}^{2}-9}}$

$\ f(g(x))={\frac {6{\sqrt[{2}]{3x}}}{3x-9}}$

Dominio Todos los reales menos el 3 c.$\ f(g(x))={\frac {6{\sqrt[{2}]{3x}}}{{\sqrt[{2}]{3x}}^{2}-9}}$

$\ f(g(2))={\frac {6{\sqrt[{2}]{3.2}}}{3.2-9}}$

$\ f(g(2))={\frac {6{\sqrt[{2}]{6}}}{6-9}}$

$\ f(g(2))={\frac {6{\sqrt[{2}]{6}}}{-3}}$

$\ f(g(2))=-2{\sqrt[{2}]{6}}$

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7.Sean

$\ f(x)={\frac {4x-3}{5-2x}}$

$\ g(x)={\frac {1}{x+1}}$

a.Determinar si :$\ g(x)$ es par, impar o ninguna de las dos. b.Encontrar f(g(x))

a.$\ g(-x)={\frac {1}{-x+1}}$

La fincion no es par ni impar

b.$\ f(x)={\frac {4{\frac {1}{x+1}}-3}{5-2{\frac {1}{x+1}}}}$

a.$\ g(-x)={\frac {1}{-x+1}}$

La fincion no es par ni impar

b.$\ f(x)={\frac {{\frac {4}{x+1}}-3}{5-{\frac {2}{x+1}}}}$

Derivadas

En los siguientes ejercicioutilice las reglas para en contrar derivadas. 1. $\ Y={2x^{2}}$

Respuesta:

$\ DxY={2.2x^{2-1}}$

$\ DxY={4x}$

"Lina Rincon"

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2. $\ Y={3x^{3}}$

Respuesta:

$\ DxY={3.3x^{2-1}}$

$\ DxY={9x^{2}}$

"Lina Rincon"

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3. $\ Y={pi.x}$

$\ piDxY={x}$

$\ piDxY={1}$

$\ DxY={pi.1}$

$\ DxY={pi}$

"Lina Rincon"

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4. $\ Y={pi.x^{3}}$

$\ piDxY={3.1x^{3-1}}$

$\ piDxY={3x^{2}}$

$\ DxY={3pix^{2}}$

"Lina Rincon"

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5. $\ DxY={\frac {500x^{4}}{x^{1}0}}$

$\ DxY={2.(-2)x^{-2-1}}$

$\ DxY={-4x^{-3}}$

"Lina Rincon"

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6. $\ Y={-3x^{-4}}$

$\ DxY={-4.(-3)x^{-4-1}}$

$\ DxY={-12x^{-5}}$

"Lina Rincon"

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7. $\ Y={\frac {pi}{x}}$

$\ DxY={\frac {(0.pi)-(1.pi)}{x^{2}}}$

$\ DxY={\frac {0-pi}{x^{2}}}$

$\ DxY={\frac {-pi}{x^{2}}}$

"Lina Rincon"

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8. $\ Y={\frac {100}{x^{5}}}$

$\ DxY={\frac {(0.x^{5})-(100.5x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}}$

$\ DxY={\frac {0-500x^{4}}{x^{1}0}}$

$\ DxY={\frac {500x^{4}}{x^{1}0}}$

$\ DxY={\frac {500}{x^{6}}}$

"Lina Rincon"

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9. $\ Y={x^{2}+2x}$

$\ DxY={Dx(x^{2})+Dx(2x)}$

$\ DxY={Dx(2x)+Dx(2)}$

$\ DxY={2x+2}$

"Lina Rincon"

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10. $\ Y={3x^{4}+x^{3}}$

$\ DxY={Dx(3x^{4})+Dx(x^{3})}$

$\ DxY={Dx(12x^{3})+Dx(3x^{2})}$

$\ DxY={12x^{3}+3x^{2}}$

"Lina Rincon"

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11. $\ Y={x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

$\ DxY={Dx(x^{4})+Dx(x^{3})+Dx(x^{2})+Dx(x)+Dx(1)}$

$\ DxY={Dx(4x^{3})+Dx(3x^{2})+Dx(2x)+Dx(1)+Dx(0)}$

$\ DxY={4x^{3}+3x^{2}+2x+1}$

"Lina Rincon"

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12.En el problema esta dibujada una recta tangente a una curva, evalue su pendiente.

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}$

Respuesta:

$\lim _{h\to 0}{\frac {(5+h)-(5)}{h}}$

$\lim _{h\to 0}{\frac {25+10+h^{2}-25}{h}}$

$\lim _{h\to 0}{\frac {10h+h^{2}}{h}}$

$\lim _{h\to 0}{\frac {h(10+h)}{h}}$

$\ {10+0}$

$\ 10$

"Lina Rincon"

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13. Encuentre las pendientes de las recta tangentes a la curva $\ y=x^{2}-1$ en los puntos en donde x = -2, -1, 0, 1, 2.

Respuesta:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}$

Respuesta:

$\lim _{h\to 0}{\frac {((c+h)^{2}-1)-(c^{2}-1)}{h}}$

$\lim _{h\to 0}{\frac {c^{2}+2ch+h^{2}-1-c^{2}+1}{h}}$

$\lim _{h\to 0}{\frac {2ch+h^{2}}{h}}$

$\lim _{h\to 0}{\frac {h(2c+h)}{h}}$

$\ {2c+0}$

$\ 2c$

(2.-2=-4), (2.-1=-2), (2.0=0), (2.1=2), (2.2=4)

"Lina Rincon"

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Correccion del Quiz #4

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA CALCULO DIFERENCIAL INTERSEMESTRAL MONITOR:CAMILO GONZALEZ QUIZ # 4

Concidere las siguientes afirmaciones y diga si son verdaderas o falsas segun corresponda: 1. Si $\ f$ es una funcion cuntinua en reales, entonces $\ Df(x)$ existe para todo número real.

Esta afirmación es falsa.

Porque Aunque existe un teorema que dice "deiferenciabilidad implica continuidad: Si $\ Df(c)$ existe entonces un $\ f$ que es continua", pero el inverso de este teorema es falso pues hay funciones que son continuas pero no diferenciables. Caso qu se da cuando la grafica de una función tiene esquinas ejemplo valor absoluto, ó la grafica de la funcion tiene recta tangente que se dirige hacia infinito en el eje de las y.

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2.Cualquier función trigonométrica es derivable en su dominio.

Esta afirmacion es verdadera.

Pues con base en el aspecto de las graficas sen y cos supondriamos q son continuas, y deacuerdo con la definición de senx y cosx se sabe que las coordenadas en el punto p son (senx,cosx). Cuando x tinende a 0 vemos q p tiende a el punto (1,0) y por consiguiente cosx tiende a 1 y senx tiende a 0. Cuando realizamos los limites de estas dos funciones y nos demuetran que son continuas en todos los realoes hasta en el cero, sinedo así a el sen y el cos se pueden aplicar las formulas de la diccion de funciones y asi deducir q son continuas en todas partes. Pero si tenemos en cuenta que ${\frac {f}{g}}=$ si $\ g(c)$ debe ser diferente de $\ 0$. Hay que tener en cuenta que en la funcion tangente ${\frac {senx}{cosx}}=tangx$ en tonces tangente seria discontinua en los puntos en que cosx vale 0. pero es importante ver que la afirmación nos habla de el dominio propio de la función siendo esta una restricción para que la firmación sea completamente verdadera.

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3.Si$\ f$ es derivable en $\ x=a$ y $\ Df(a)=0$, entoces$\ f$tiene un maximo o un minimo local en $\ x=a$.

Esta afirmación es falsa:

pues sí $\ x=a$ y es un punto en el que $\ Df(a)=a$, lo llamamos punto estacionario, pues la grafica se coloca en una trayectoria horizontal, ya que la recta tangentye es horizontal, Esto lo podemos sustentar por el teorema de los puntos criticos, que en ningun momento nos hablan de puntos maximos y minimos de una ves, para conocer estos devemos tener en cuenta el criterio de la segunda derivada

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4.Si $\ f(x)=a^{x}$ con $\ a>1$, entonces $\ f$ es concava en todo su dominio.

la afirmacion es vedadera.

Las graficas que pertenecen a esta funcion con la restriccion que se da en la afirmacion solo se tama la seccion concaba de la función. $\ f(x)=a^{x}$ con $\ a>1$ $\ Df(x)=a^{x}.ln.a$ $\ Ln.y=x.ln.a$ ${\frac {Dy}{y}}=ln.a$ $\ Df=a^{x}.ln.x$ $\ segundaDf=a^{x}-{(ln.a)}^{2}$

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5.Si $\ Df(a)$ esta definida en un intervalo avierto $\ I$ y $\ SegundaDf(a)>0,$ para todo $\ a$ pertenece $\ I$, entonces $\ f$ es concava en $\ I$.

La afirmación es vedadera.

Porque el teorema de concavidadque dice que sea dos veces derivable en el intervalo abierto $\ I$

Correccion del parcial final

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

Departamento de Matematicas

Facultad: Indgenieria Examen Final: Calculo Diferencial

1. Se da un tabla de valores para $\ f$, $\ g$ , $\ Df$,

$\ Dg$.

Si $\ h(x)=g(f(x))$ , el valor de $\ Dh(1)$es igual a

a.34 b.5 *c.36* d.24 e.30

$\ Dh=Dg(f(x)).Df(x)$Planteamos una regla de la cadena

$\ Dh(1)=Dg(f(1)).Df(1)$y evaluamos cuando las x valen 1.

$\ Dh(1)=Dg(3).4$Como cuando x vale 1 Df vale 4, reemplazo

$\ Dh(1)=9.4$Como cuando x vale 3 Dg vale 9, reemplazo

$\ Dh(1)=36$

Y como por arte de magia esta es la respuesta. Ojala ubiera pensado esto en el parcial "Lina Rincon"

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2. Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal, de manera tal que su posición,

en el instante t esta especificada por $\ S=t^{3}-12t^{2}+36t-30$. Aqui $\ s$

se mide en centímetros y $\ t$ en segundos. ¿Cuando se mueve el objeto a la izquierda?

a.$\ t$ pertence $\ (-infinito,2)$U$\ (6,+infinito)$

b.*$\ t$ pertenece $\ (2,6)$*

c.$\ t$ pertenece $\ (-infinito,6)$U$\ (18,+infinito)$

d.$\ t$ pertenece $\ (6,18)$

$\ S=t^{3}-12t^{2}+36t-30$ Tomamos la ecuacion y la derivamos

$\ S=3t^{2}-24t+36$ Despues de estar derivada la igualamos a cero para hallar puntos

criticos pero antes podemos sacar 3ª a todos los terminos

$\ t^{2}-8t+12=0$ Ahora si igualamos a cero para hallar puntos criticos

$\ (t-6)(t-2)$

$\ t=6$, $\ t=2$ Estos son los puntos criticos

Intervalos

$\ (-infinito,2)>0$

$\ (2,6)<0$

$\ (6,+infinito)$

Y facilmente podemos asegurar que la particula se mueve a la izquierda es en el intervalo $\ (2,6)$ "Lina Rincon"

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3. Un rectangulo tiene dos vertices en el eje x y otros dos sobre la parabola $\ y=12-x^{2}$. Vease la figura.

¿Cuales son las dimenciones del rectangulo de este tipo con area maxima?

$\ Area=2x.y$ Primero planteamos la ecuacion de area para el rectanulo

$\ y=12-x^{2}$ y luego al observar la ecuacion de la parabola me da el valor de $\ y$

$\ Area=2x(12-x^{2})$ y reemplazamos la ecuacion de la parabola en la del area

$\ Area=24x-2x^{3}$ realizamos operaciones

$\ DArea=24-6x^{2}$derivamos la ecuacion resultante

$\ 24-6x^{2}=0$igualamos la ecuacion a cero para poder encontrar el valor de x y os

puntos criticos.

$\ -6x^{2}=-24$

$\ x^{2}={\frac {-24}{-6}}$

$\ x^{2}=4$

$\ x={\sqrt[{2}]{4}}$

$\ x=+-2$

Intervalos

$\ (-infinito,-2)<0$

$\ (-2,2)>0$

$\ (2,+infinito)<0$

$\ x=2$

$\ x=4$

$\ y=12-x^{2}$

$\ Y=12-2^{2}$Reemplazo en la ecuacion de la curva el valor de x que es 2

$\ y=12-4$

$\ y=8$

Despues de este corto y simple proceso deducimos que las dimenciones del rectangulo con area

maxima son de $\ y=8$ y $\ x=2$ "Lina Rincon"

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4.Para una funcion $\ f(x)$, apartir de la siguiente informacion determine a.Intevalos de creciomiento y de decreciomiento b.Intervalos de concavidad c.Puntos criticos y su naturaleza d.Bosqujo de la grafica $\ f$

a.$\ (-infinito,2)$ u $\ (2,infinito)$ Creciente

$\ (-2,2)$ Decreciente

b.$\ (-infinito.-{\sqrt[{2}]{2}})$ u $\ (2,infinito)/math>Convexo:<math>\ (-{\sqrt[{2}]{2}},0)$ u $\ {\sqrt[{2}]{2}},infinito$ Concavo

c.$\ x=-2$ Maximo

$\ x=o$ Punto de inflexiòn

$\ x=2$ Minimo