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解一元二次方程式Edit

數位媒體融入教學(試教篇)Edit

在本學期的「數學教材教法」課程中,我選擇國中課程的「解一元二次方程式」單元來試教。所以在本課程--數位學習,我就思考是否可以利用數位媒體來輔助教學。

這學期我選擇探討WikiBooks,所以決定利用它來呈現這個單元。以下是我的編輯。

指導語Edit

解一元二次方程式並不難,訣竅是觀察方程式的模樣,或是利用方程式的性質及概念來解出。

一元二次方程式Edit

一元二次方程式是帶有一個未知數--通常用 x 來表示--且最大次方為 2 的方程式,我們可以用 ax2+bx+c=0 來表示,其中a、b、c為實數

完全平方式Edit

若某一元二次方程式是完全平方式,則它可以化成一元一次方程式的完全平方。

也就是 a(x+b)2


如何展開一元一次方程式的完全平方?Edit

(x+b)2=(x+b)(x+b)=x2+2bx+b2


解一元二次方程式方法(一)Edit

若方程式是 x2+2bx+b2=0 的形式,或是此形式的實數倍,都可以利用完全平方式的概念來求解。

其解為-b,因為 (x+b)2=0 的解,就是要讓 x+b=0 使 (x+b)2=(0)2=0。


  • 例題(1): 2x2+8x+8=0


詳解:

我們先提出首項係數 2 ,使方程式變成:

2(x2+4x+4)=0

我們可以發現()內的多項式是 x+2 的完全平方式,所以:

2(x2+4x+4)=0

→ 2(x+2)2=0

→ (x+2)2=0 (即 = 左右邊同除以 2)

→ x=-2

配方法Edit

我們已知 (x+b)2 可以展開成 x2+2bx+b2 ,可以發現常數項為 x 一次項係數的一半再平方。

所以我們得知,欲構成完全平方式必須補上 x 項係數的一半再平方。

若給題為完全平方式,可以直接找 x 的解,但是若題目為非完全平方式,則須利用完全平方的概念來解題。

其方法有二:配方法公式解


解一元二次方程式方法(二): 配方法Edit

我們簡單將配方法分解為四個步驟:


  • 步驟一:常數項移到等號右邊。
  • 步驟二:方程式同除以首項係數。
  • 步驟三:補項使其成為完全平方式。
  • 步驟四:解 x 。


註:不一定要照著這四步走,學生可以根據原理,發展自己的解題步驟。


  • 例題(2):  

詳解:

步驟一: 

步驟二: 

步驟三: 

步驟四:   

公式解Edit

在數字簡單的方程式下,用配方法可以快速的解出 x 的值,但是在數字複雜的方程式下,由於步驟繁多而錯誤率提高。

所以有另一種方法,可以更快的求出 x 的值,我們稱之為公式解。


解一元二次方程式方法(三):公式解Edit

公式解的原理是利用配方法解方程式 ax2+bx+c=0 ,其中 a 不為 0 。

其推導的過程如下:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 


這個複雜的式子 就稱作公式解。

只要知道 a、b、c ,我們就可以求出 x 的解。


  • 例題(3):  


詳解:

a=2

b=-4

c=1

套用公式解得知:

 

 

 

 

判別式Edit

經由觀察我們可以發現,在公式解的式子中, 扮演了很重要的角色。因為它決定了 x 解的個數。

 為正數,則 x 恰有兩解。

 為 0 ,則 x 恰有一解。

 為負數,則 x 無解。

所以,我們提出了判別式的概念。


判別式Edit

因為 非常重要,於是我們為它取名為判別式。旨在判別 x 的解的個數。

如果將其延伸到幾何意義上,可以表示為一元二次函數的圖形與 x 軸的交點個數,這我們將在未來的課程中深入探討。

在方程式的意義上,我們只考慮如同上面的敘述:

  •  為正數,則 x 有兩相異實根。
  •  為 0 ,則 x 恰有一實根。
  •  為負數,則 x 無實數解。


註:何謂無實數解?就是在實數中,找不到此方程式的解。但是在虛數中,我們可以找到,這也是未來的課程將會提及的領域。